Первоначально носил фамилию Стрельцов.
Будучи курсантом Киевского высшего общевойскового командного училища им. М. В. Фрунзе, женился на дочери начальника штаба Киевского военного округа генерал-полковника (впоследствии — генерала армии) Станислава Ивановича Постникова, в связи с чем взял двойную фамилию Постников-Стрельцов.
После окончания училища был командиром взвода, роты, отдельного батальона в частях Киевском военном округе и в Группе Советских войск в Германии.
После окончания в 1988 году Военной академии им. М. В. Фрунзе проходил службу в Одесском и Дальневосточном военных округах на должностях заместителя командира и командира гвардейского мотострелкового полка, начальника штаба дивизии, начальника окружного учебного центра, к 1998 году — начальник штаба Таманской дивизии Московского военного округа.
В 2000 году окончил Военную академию Генерального штаба Вооружённых сил Российской Федерации, после чего служил начальником штаба 22-й армии (общевойсковой), с августа 2002 года — командующим 20-й гвардейской армии в Московском военном округе.
В ноябре 2004 года назначен начальником штаба — 1-м заместителем командующего войсками Северо-Кавказского военного округа.
12 июня 2006 года Указом Президента Российской Федерации № 583 Постникову-Стрельцову было присвоено воинское звание генерал-полковника.
В декабре 2006 года переведён на аналогичную должность в Сибирский военный округ.
19 апреля 2007 года, после перевода прежнего командующего войсками СибВО генерала армии Н. Е. Макарова в Москву (на должность начальника вооружений Вооружённых Сил Российской Федерации), Постников указом Президента Российской Федерации № 504 был назначен командующим войсками Сибирского военного округа.
11 января 2010 года Президент Российской Федерации Дмитрий Анатольевич Медведев подписал указ, согласно которому Постников был назначен главнокомандующим Сухопутными войсками России.
Женат, двое детей.