Воспитывался в Царскосельском лицее.
В 1819 году — произведён в прапорщики гвардии артиллерии; участвовал в турецкой войне 1828 и польской 1830—1831 гдов.
В 1832 году — начальник штаба артиллерии действующей армии.
5 декабря 1841 года награждён орденом св. Георгия 4-й степени.
В 1848—1856 годах — начальник штаба по управлению генерал-фельдцейхмейстера и способствовал многим улучшениям по артиллерийской части.
В тяжёлую эпоху Крымской кампании ему, кроме того, пришлось управлять артиллерийским департаментом. Позже Безак командовал 3-м, а затем 5-м армейскими корпусами.
В 1860 году назначен командиром отдельного Оренбургского корпуса и генерал-губернатором Оренбургского края, которым успешно управлял в течение 5 лет. Во время его управления были предприняты ряд значительных походов против среднеазиатских ханств.
В 1865 году назначен командующим войсками Киевского военного округа и генерал-губернатором Юго-Западного края. На этом посту он энергично занимался проведением правительственной политики по стабилизации ситуации в крае после восстания 1863 года. На этом посту он оставался до самой кончины, случившейся во время служебной поездки в Петербург. Похоронен Александр Павлович Безак в Киево-Печерской лавре, которой много помогал во время своего губернаторства. Над его могилой построена часовня, позже там похоронили его жену. Могила Безаков сохранилась.
Был женат на Любови Ивановне Стороженко и имел единственного сына Николая Александровича Безака — генерала, главноуправляющего почт и телеграфов.
Имя Безака до революции носила Безаковская улица в Киеве (в советское время — улица Коминтерна, с 2008 г. улица Симона Петлюры).