В 1919 некоторое время учился в художественной школе города Аткарска Саратовской губернии. После закрытия школы в связи с событиями гражданской войны продолжал заниматься рисованием в частном порядке со школьным учителем Н. Я. Фёдоровым.
Учился в московском ВХУИТЕНе (1926—1930). Главным образом он жанрист и исторический живописец. Для творчества А. П. Бубнова в зрелый период характерны широкая живописная манера, мажорная звучность цвета, стремление в изображении повседневных явлений советской действительности выразить новые и значительные черты жизни народа.
Наиболее известные произведения: «Октябрины» (1936, Ульяновский художественный музей); «Утро на Куликовом поле» (1943—1947; Сталинская премия первой степени , 1948), «Вечер на пашне» (1959—1960) — оба в Третьяковской галерее; «На поле» (1959—1960, Русский музей, Санкт-Петербург), «Осень» (1961—1962, Казахская художественная галерея им. Т. Г. Шевченко, Алма-Ата); иллюстрации к произведениям Н. В. Гоголя, Т. Г. Шевченко, А. С. Пушкина и другие.