Александр Кибальников родился 9 (22) августа 1912 года в деревне Орехово (ныне Волгоградская область).
В 1929—1932 годах учился на живописном отделении Саратовского художественного техникума (1929—1932), затем переехал в Москву.
Александр Кибальников автор памятников Н. Г. Чернышевскому в Саратове, В. В. Маяковскому в Москве, А. Н. Радищеву в Саратове, мемориального комплекса «Брестская крепость-Герой» в Бресте (совместно с А. О. Бембелем, В. А. Королём), П. М. Третьякову у Третьяковской галереи, бюста Маяковского на станции метро Маяковская, надгробных памятников В. В. Маяковскому, Н. Ф. Погодину и Братьям Васильевым на Новодевичьем кладбище.
В 1963—1966 годах являлся Председателем правления МОСХ РСФСР
А. П. Кибальников умер 5 сентября 1987 года. Похоронен в Москве на Новодевичьем кладбище (участок № 10). В ноябре 2010 года на Новодевичьем кладбище Александру Павловичу Кибальникову был установлен памятник. Автор памятника — скульптор Вячеслав Семёнович Пилипер.
.
Надгробие Владимира Маяковского на Новодевичьем кладбище
Памятник Чернышевскому
Памятник Маяковскому
Памятник Третьякову