Родился в деревне Шафторка Сасовского уезда Рязанской губернии, ныне Рязанской области, 10 февраля 1935 года.
Заслуженный деятель искусств России (1994). Заслуженный деятель искусств Мордовской АССР (1976). Композитор, автор свыше 800 песен, концертов для баяна с оркестром, для балалайки с оркестром, пьесы для двух баянов, детской оперы «Золотой колосок», оперетты, музыки к спектаклям и кинофильмам, 30 сборников. Член СК СССР (1968). Почётный гражданин города Сасово (Рязанская обл.), города Зеленокумск (Ставропольский край), села Мухоршибирь (Бурятия)
Ученик композитора А. С. Абрамского.
Скончался Александр Петрович Аверкин 7 августа 1995 года. Похоронен в Москве на Новокунцевском кладбище.
В первом браке Аверкин был женат на Л. Г. Зыкиной. Затем композитор женился во второй раз на Г. В. Аверкиной, с которой прожил до конца жизни
Также автор многих других произведений, входящих в репертуар таких исполнителей, как Людмила Зыкина, Ольга Воронец, Александра Стрельченко, Анна Литвиненко, а также хоровых коллективов — Большого хора Всесоюзного радио и Центрального телевидения, Рязанского народного хора, Волжского народного хора и др.
Именем Александра Аверкина названа улица на его родине в городе Сасово, детская музыкальная школа и уникальный музей РУССКОЙ ПЕСНИ. На Рязанской земле, в городе Сасово проходит ежегодный Всероссийский фестиваль народного творчества имени Александра Аверкина, куда съезжаются известные артисты и деятели культуры, композиторы, поэты, исполнители народной песни со всей России.