Александр Прошкин родился 25 марта 1940 года в Ленинграде.
В 1961 году окончил актёрский факультет Ленинградского государственного института театра, музыки и кинематографии, где учился на курсе Бориса Зона. С 1961 по 1966 год Александр Прошкин был актёром Ленинградского театра Комедии. В 1968 году окончил Высшие режиссёрские курсы при Гостелерадио СССР.
Много лет проработал в качестве режиссёра в Главной редакции литературно-драматических программ Центрального телевидения, а затем в телеобъединении «Экран». В 1986 году вышедшая на экраны телевизионная биографическая лента «Михайло Ломоносов» принесла режиссёру всесоюзную известность, хотя ещё ранее, в 1981 году Александр Прошкин снял очень интересную картину «Опасный возраст» с Алисой Фрейндлих и Юозасом Будрайтисом в главных ролях. В 1988 году поставленный им фильм «Холодное лето пятьдесят третьего» с Анатолием Папановым и Валерием Приемыховым в главных ролях удостоился профессиональных наград, а также Государственной премии СССР (1989).
В 1999 году режиссёр поставил фильм «Русский бунт» по повести А. С. Пушкина «Капитанская дочка».
В 2005 году Александром Прошкиным поставлен 11-серийный телесериал «Доктор Живаго». В 2008 Александр Прошкин экранизировал повесть В. Распутина «Живи и помни».