Начал свою профессиональную карьеру в клубе «Дустлик» в 2001 году. В 2002 играл за ташкентский «Пахтакор». В дальнейшем перебрался в Россию, где играл за московские «ЦСКА» и «Торпедо». С 2007 года играет за ташкентский «Пахтакор».
После Кубка Азии, прошедшего в Катаре в 2011 году, перешёл в южнокорейскую команду «Сувон Самсунг Блюуингз».
В декабре 2011 года, вернулся в свой родной «Пахтакор».
Гейнрих с 2002 года выступает за сборную Узбекистана. В 2007 году провёл в составе сборной девять матчей.
Этнический немец. Женат. Во время Кубка Азии-2011 в Катаре в семье Александра Гейнриха родилась дочь.