Александр Сергеевич Барков родился 13 мая 1873 года в семье крестьянина, отставного унтер-офицера Сергея Игнатьевича Баркова в селе Покровском Епифанского уезда Тульской губернии. Закончил земское училище в 1882 году, три года учился в Епифанском уездном училище, затем с 1886 по 1894 год — в тульской гимназии, которую закончил с отличием .
В 1894—1898 годах учился на отделении естественных наук физико-математического факультета Московского университета, которое закончил с золотой медалью и дипломом I степени. Был учеником профессора Д. Н. Анучина. С 1899 года начал преподавательскую деятельность. В 1911 году был назначен директором мужской гимназии А. Е. Флёрова, впоследствии — школы № 110, в которой проработал до 1925 года. С 1920 года одновременно заведовал школьным подотделом в Московском отделе народного образования (МОНО).
В 1935 году получил степень доктора географических наук. В 1944 году избран действительным членом Академии педагогических наук РСФСР. В июле 1945 года А. С. Баркову присвоено звание Заслуженного деятеля науки РСФСР. Награжден орденом Ленина и орденом Трудового Красного Знамени.
Жена — Гали Евгеньевна Ивакинская (1987—1960), урожденная Кламмер, актриса Московского детского театра. В 1920-х годах участвовала в «рыцарском» кружке «Орден Духа», с 1924 — «Орден Света», примыкавшем к масонам. На заседаниях кружка присутствовал и А. С. Барков. В 1930 году кружок попал в поле зрения НКВД и был разогнан, некоторые члены осуждены .
А. С. Барков скончался 28 декабря 1953 года в Москве. Похоронен на Новодевичьем кладбище.
В 1900—1904 годах Д. Н. Анучин и его ученики А. С. Барков, С. Г. Григорьев, А. А. Крубер, С. В. Чефранов издал серию иллюстрированных хрестоматий для школ: «Азия», «Америка», «Африка», «Европа», «Австралия», «Азиатская Россия», «Европейская Россия». С 1897 года вёл частную педагогическую практику, с 1899 года преподавал географию в учебных заведениях Москвы: в Александровском училище, на Высших женских курсах. В 1903 году с группой соавторов издал учебник «Начальный курс географии», в 1905 году «Курс географии Европы (Западная Европа)», затем — «Курс географии России». В 1909 году совместно с А. А. Борзовым составил серию методических плакатов по географии России.
С 1924 года преподавал в Индустриально-педагогическом институте им. К. Либкнехта (располагавшtмся в Москве на Спартаковской улице, дом 2/1), в Московском государственном педагогическом институте им. В. И. Ленина, которые объединились впоследствии, в 1937 году. В 1926—1941 годах руководил кафедрой физической географии МГПИ.
В 1920—1930-х годах участвовал в ряде научно-исследовательских экспедиций в Московской и Архангельской областях, в Крыму, был в зарубежных поездках, исследовал карстовые явления. В 1930 году был руководителем географической экспедиции по подготовке строительства Куйбышевского гидроузла.
В 1928—1937 годах был редактором отдела физической географии Большой и Малой советских энциклопедий.
В 1931—1950 годах преподавал в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова; с 1943 года до 1950 года возглавлял кафедру физической географии зарубежных стран. В период эвакуации МГУ (1941—1943) читал лекции в Ашхабадском государственном педагогическом институте.
В 1935 году совместно с А. А. Половинкиным создал учебник для 5-го класса средней школы «Физическая география», который до 1954 года переиздавался 18 раз, был переведен почти на все языки народов СССР. В 1940 году издал «Словарь-справочник по физической географии», выдержавший 4 издания (последнее в 1958 году).
В 1944—1947 годах руководил кабинетом методики географии в Научно-исследовательском институте методов обучения АПН РСФСР, до 1950 года - старший научный сотрудник института.
Разработал курсы физической географии СССР и зарубежных стран, страноведения, общего землеведения, методики преподавания географии. Издавал работы по страноведению для студентов географических факультетов педагогических институтов. Составленные А.С.Барковым и его единомышленниками учебники, хрестоматии и методические материалы по географии считались лучшими для того времени.