Происходил из дворян Тверской губернии, родился 20 января 1755 г. и одиннадцати лет от роду поступил на службу в артиллерию, откуда был переведён сначала лейб-гвардии в Измайловский, а затем в Семёновский полк. В рядах этого полка прослужил двадцать три года и дослужился до чина полковника.
В войне со Швецией 1788—1790 гг., будучи уже капитаном, оказал выдающееся отличие при отбитии нападения шведов на Саватайпольский пост. Дело это произошло следующим образом. Утром 24 мая 1790 г. шведский генерал Армфельт, с четырёхтысячным отрядом, атаковал со всех сторон Саватайпольский пост, занятый русскими войсками. Потерпев неудачу на нашем правом фланге, Армфельт возобновил нападение на левый фланг. Для отражения этой атаки был выдвинут отряд, в составе которого находилась одна рота лейб-гвардии Семёновского полка под командованием капитана Свечина. Русские войска быстро двинулись вперед, храбро встретили шведов и, не допустив до Саватайполя, опрокинули их и обратили в бегство, причем генерал Армфельт был тяжко ранен. За оказанную при этом выдающуюся храбрость Свечин 27 мая 1790 года был награждён орденом св. Георгия 4-го класса (№ 379 по кавалерскому списку Судравского и № 732 по списку Григоровича—Степанова)
По окончании шведской войны он продолжал службу в Семёновском полку и 1 января 1795 г. был произведён в полковники с переводом в конно-гренадерский Военного ордена полк. Прослужив в этом полку три года, был 3 марта 1798 года произведён в генерал-майоры и назначен шефом Московского драгунского полка.
Во время войны 1799 г. с Францией находился со своим полком в Швейцарии, под командой генерала Римского-Корсакова. В неудачном сражении при Цюрихе 14 и 15 сентября ему не пришлось участвовать, так как вверенный ему полк находился за Рейном, а затем, после сражения, был переведён на левую сторону этой реки в местечко Эглизау, для прикрытия русских войск, отступавших от Цюриха. Затем, 26 сентября, Свечину пришлось принять участие в сражении при Дисенгофене (под общим начальством генерала Воинова), причем русская кавалерия целым рядом блестящих атак, оцененных по достоинству даже неприятелем, сдерживала наступление французов и прикрывала отступление войск Римского-Корсакова к Бюсингенскому предмостному укреплению.
В начале 1800 г. Свечин был произведён в генерал-лейтенанты, а 30 мая того же года закончил свою служебную деятельность выходом в отставку.
Скончался Свечин 18 марта 1801 г., похоронен на Лазаревском кладбище Александро-Невской лавры.
Родные братья Александра Сергеевича, Алексей и Николай, также служили в русской армии и были генералами. Герой Отечественной войны 1812 года генерал Н. М. Свечин приходился им двоюродным братом.