Александр Иванович родился 19 августа 1952 года в семье учителя.
После школы уехал в Москву и поступил в ГИТИС. Учился у Андрея Гончарова, на одном курсе с Игорем Костолевским и Александром Фатюшиным. На третьем курсе женился на первокурснице Людмиле Радченко.
После окончания ГИТИСа в 1973 году по приглашению Гончарова Соловьёв начинает работать в Театре имени Маяковского. Через год он уходит в Центральный детский театр и работает там до 1986 года. Одна из его коллег по сцене, Людмила Гнилова, стала его второй женой.
Соловьёв, помимо работы в театре, много снимался. Фильмы «Адам женится на Еве» и «Зелёный фургон» принесли ему известность. В 1991 году он единственный раз попробовал себя в режиссуре, поставив трагикомедию «По Таганке ходят танки».
С середины 90-х Соловьёв боролся с алкогольной зависимостью и оказывался в различных наркологических клиниках. В одной из таких клиник, в Феодосии, Александр встретился с актрисой Ириной Печерниковой, которая стала его третьей женой.
Умер Александр Иванович от черепно-мозговой травмы 1 января 2000 года в Институте имени Склифософского, куда его доставили в ночь на 26 декабря 1999 года. По официальной версии произошедшего Александра обнаружил на улице случайный прохожий, который обратился в 68-е отделение милиции, где актёра оформили как «неизвестного» и отправили в институт. Опознали тело только 21 января, кремировали — 25 января 2000 года.