Родился в Онежском уезде Архангельской губернии в семье поморов. Отец, Степан Григорьевич, был торговым капитаном, умер во время блокады Ленинграда. Александр был старшим сыном в семье. После окончания городского училища в Онеге учился на штурмана в Архангельском торгово-мореходном училище, которое и окончил в 1909 году с золотой медалью. Затем уехал в Норвегию, где плавал на Ян-Майен и Шпицберген. Хорошо владел норвежским языком, составил малый русско-норвежский словарь (4 000 слов), напечатанный в Вардё. Интересовался океанографией и самостоятельно изучал её. Затем по рекомендации начал профессионально заниматься океанографией в Бергене, в лаборатории Бьорна Хелланда-Хансена, ведущего учёного в этой области. В той же лаборатории познакомился с Фритьофом Нансеном. По рекомендации Нансена и Хелланда-Хансена Кучин был принят в экспедицию Руаля Амундсена, отправлявшуюся на корабле «Фрам» в Антарктиду, в качестве штурмана и океанографа. Кучин был единственным иностранцем в составе экспедиции и был зачислен в неё вопреки рекомендации стортинга, что экспедиция должна состоять лишь из граждан Норвегии. Для приёма иностранца в экспедицию требовалось поручительство, и в качестве поручителя выступил Б. Хелланд-Хансен.
После отплытия «Фрама» из Осло Амундсен сообщил экипажу, что реальной целью экспедиции является не просто исследование южных морей и побережья Антарктиды, а покорение Южного полюса. Пройдя мимо острова Кергелен, «Фрам» подошёл к побережью Антарктиды в районе ледника Росса, где Александр Кучин стал первым русским, высадившимся на материк Антарктида. После трёхнедельной стоянки «Фрам» за 62 дня прибыл в Буэнос-Айрес, а затем, проведя исследования антарктических морей, снова вернулся в Буэнос-Айрес в сентябре 1911 года. У Кучина в этот момент заканчивалась отсрочка от военной службы, и он вынужден был прервать плавание и на пассажирском лайнере вернуться в Осло, взяв с собой часть материалов экспедиции для передачи Хелланд-Хансену.
10 декабря 1911 года в Осло состоялась помолвка Кучина с Аслёуг Поульсон. Но их свадьба так и не состоялась, она так и не вышла замуж и умерла в возрасте 93 лет.
Зимой 1912 года Александр Кучин вернулся в Россию. В Архангельске он познакомился с Владимиром Русановым, который предложил ему стать капитаном шхуны «Геркулес», отправлявшейся в июне 1912 года из Архангельска через Александровск-на-Мурмане и Шпицберген в экспедицию в Карское море. 18 августа 1912 года экспедиция прошла пролив Маточкин Шар на Новой Земле, после чего её судьба неизвестна. По всей видимости, она погибла у западного побережья Таймыра.
Возможно, останки Кучина были обнаружены в 2000 году в районе горы Минина на полуострове Таймыр экспедицией Орловской гостелерадиокомпании.
Именем Кучина названы два арктических острова, горная вершина в районе ледника Уилкса и часть самого ледника, улица в Архангельске, переулок в Онеге и морской линейный буксир Онежского морского торгового порта.