Родился Александр Скорохов в большой рабочей семье: три брата, сестра. Во время Великой Отечественной войны работал слесарем-лекальщиком на заводе им. Масленникова. С 14 лет в детской команде завода продолжилось дворовое увлечение футболом. В 17 лет Саша Скорохов стал выступать за первую взрослую команду своего предприятия в обществе «Трактор».
Способный юноша не остался незамеченным тренером Виктором Новиковым, одним из организаторов куйбышевских «Крыльев». В марте 1946 года Скорохов был приглашён в команду мастеров, которая после победного дебюта во второй группе чемпионата СССР 1945 года готовилась к своему второму сезону, уже в группе сильнейших.
В пятом матче своей команды он дебютировал в первенстве страны — 23 мая 1946 года в Минске «Крылья» сыграли вничью (1:1) с местным «Динамо». С первого появления новичка на футбольном поле стало ясно, что в коллектив пришёл способный, незаурядный футболист, с неплохим будущим. Он внёс молодой азарт и боевой настрой в игру, и вскоре утвердился в основном составе команды.
Десять лет Александр Скорохов играл на правом краю защиты «Крыльев». Выступал в финале Кубка СССР в 1953 году, был в составе волжан, завоевавших наилучшее 4-е место в советский период в высшей лиге в 1951 году. А годом раньше — в 50-м — специалисты включили его вместе с одноклубником Александром Гулевским в список 33 лучших игроков страны, за что оба одними из первых куйбышевских футболистов были удостоены звания мастеров спорта.
В 1951 году Скорохов усиливал донецкий «Шахтёр» в его поездке по Болгарии и Румынии. В 1953 году вместе с другими игроками «Крыльев» — Ворошиловым, Ширяевым и Корниловым — участвовал в турне ленинградского «Зенита» по Норвегии и Финляндии.
28 июля 1955 года Скорохов сыграл свой последний матч за «Крылья Советов» в Москве со «Спартаком» и довел командный рекорд по числу выступлений в чемпионатах страны (высшая лига) до 201 матча. В настоящее время по этому показателю он занимает 5-е место. В Кубке СССР он сыграл 22 матча. Во второй половине 1955 года выступал за таллинское «Динамо» (2 матча, 1 гол).
Ещё играя за «Крылья», Александр окончил педагогический техникум, а затем Саратовский институт физкультуры. После большого футбола Скорохов жил в Куйбышеве, был тренером в «Локомотиве», работал на кафедре физвоспитания Куйбышевского политехнического института, около десяти лет трудился преподавателем в СПТУ № 1 при заводе имени Масленникова. Заочно окончил Государственный центральный институт физкультуры.
Часто выступал за команду ветеранов «Крыльев». Умер в 1990 году после тяжёлой болезни.