А. С. Вороошило родился 15 декабря 1944 года в Днепропетровске. Окончил ОГК имени А. В. Неждановой в 1974 году. В 1973 году, еще на 4-ом курсе, он был зачислен солистом в Одесский оперный театр, где исполнял партии Ротного в «Евгении Онегине», Елецкого в «Пиковой даме» П. И. Чайковского, Эскамильо и Моралеса в «Кармен» Ж. Бизе, Шарплеса в «Чио-Чио-Сан».
В 1975 году, пройдя конкурс, зачислен без стажировки в труппу Большого театра. По некоторым данным, прошёл конкурс единственным из 138 претендентов. Дебютировал в Большом в опере «Иоланта» П. И. Чайковского.
В репертуар А. Ворошило вошли ведущие лирические и драматические баритональные партии классической и современной русской и западноевропейской оперы. Среди них — Елецкий и Томский в «Пиковой даме», Онегин в «Евгении Онегине» и Роберт в «Иоланте», Веденецкий гость в «Садко» Н. А. Римского-Корсакова, Андрей Щелкалов в «Борисе Годунове» М. П. Мусоргского, ди Поза в «Доне Карлосе», Ренато в «Бале-маскараде» и Яго в «Отелло» Дж. Верди, Сильвио и Пролог в «Паяцах» Р. Леонкавалло, Эскамильо в «Карме»н Ж. Бизе, Скарпиа в «Тоске» Дж. Пуччини, Наполеон в «Войне и мире» и Фердинанд в «Обручении в монастыре», Алексей в «Повести о настоящем человеке» С. С. Прокофьева.
Большой успех принесло певцу исполнение партии Чичикова в опере «Мертвые души» Р. К. Щедрина (1977).
В 1991 году, по другим данным, в 1992 году, Ворошило из-за болезни связок уходит со сцены.
С 1992 по 2000 год занимается предпринимательской деятельностью, возглавляет ООО «АДВА», специализирующееся на переработке мяса, производстве колбасных изделий.
В дальнейшем занимается административной деятельностью. С 2 сентября 2000 года по март 2002 года занимает пост исполнительного директора ГАБТ России. С сентября 2002 по июнь 2003 года Ворошило — генеральный директор строящегося Московского международного дома музыки на Красных Холмах. С 2004 года возглавляет строительство многофункционального концертного зала в Барвихе.
С 2003 года Александр Ворошило ведет класс сольного пения в МГК имени П. И. Чайковсокго.
Снимался в кино в фильмах В. В. Меньшова «Ширли-Мырли» («Кузя, Шниперсонов поклонник») и «Зависть богов» (полковник КГБ).
Занимается благотворительной деятельностью, особенно помогает молодым музыкантам: вокалистам, музыкальным критикам и т. д.