Родился 19 июля 1957 года в Днепропетровске. Вскоре семья переехала в Днепродзержинск, где его родители работали на коксохимическом заводе. Окончил 10 классов. Неудачно пытался поступить в военное училище. В 1975 году всё же сумел поступить в Киевское высшее общевойсковое командное училище им. Фрунзе. С 1978 года член КПСС.
С января 1980 года лейтенант Стовба служил в Афганистане. Был командиром взвода в составе 66-й отдельной мотострелковой бригады. 29 марта 1980 года его взвод был окружён в районе населённого пункта Серан (провинция Кунар). Получив ранение в ногу, лейтенант Стовба остался прикрывать отход своего подразделения и погиб.
Похоронен в Днепродзержинске.
Уже после своей смерти Александр Стовба получил известность как поэт. В 1981 году в Днепропетровске был издан первый сборник его стихов «Песня грозы сильней». В 1982 году вышел сборник в Москве. В 1984 году Стовба был посмертно принят в Союз писателей СССР
В Днепродзержинске перед школой N20, где он учился и которая носит его имя, открыт памятник поэту, его именем названы улица в Днепродзержинске, школы на Днепропетровщине, ему посвящены стихотворения, о нем написаны книги, снят документальный фильм, появилась областная литературная премия имени Александра Стовбы.