Родился 11 декабря 1950 года в Киеве. Окончил Киевский институт театра и кино по специальности кинодраматург-киновед-редактор, а также закончил специализированные трехгодичные курсы художников-мультипликаторов Госкино УССР.
Мультипликацией занимался с 1968 года на студии «Киевнаучфильм». Прошел путь от заливщика до режиссёра. В 1980 году переезжает в Москву для работы кинорежиссёром в мультипликационной студии Т/О «Экран».
С 1988 года — основатель и художественный руководитель Московской студии «Пилот» (Школа новых экранных технологий). Студия «Пилот» стала первой независимой киностудией в постсоветской России.
Автор-режиссёр многих рекламных роликов.
С 1997 года — художественный руководитель телепроекта еженедельной передачи «Чердачок Фруттис» (ОРТ).
Наиболее известные персонажи, созданные Татарским — братья Колобки, которые потом были переименованы в братьев Пилотов. Они были не только героями нескольких мультфильмов, но также и первыми на российском телевидении виртуальными ведущими.
В 1998 году Александр Михайлович Татарский получает Государственную премию Российской Федерации в области литературы и искусства за цикл «Из личной жизни Братьев Пилотов» и телепрограмму «Чердачок Братьев Пилотов»
В 2000 году Александру Татарскому присваивается звание «Заслуженный деятель искусств Российской Федерации».
Большинство фильмов Александра Татарского и студии «Пилот» имеют фестивальные награды. Заставка для передачи «Спокойной ночи, малыши!» была внесена в «Книгу рекордов Гиннеса» по числу выходов в эфир.
Татарский был президентом Открытого российского фестиваля анимационного кино в Суздале и руководителем секции анимации при Союзе кинематографистов.
В 2007 году был членом экспертного совета кинопремии «Золотой орёл».
Александр Татарский умер 22 июля 2007 года на 57 году жизни, во сне от остановки сердца. На похороны на Миусское кладбище пришли сотни людей — известные режиссеры, многочисленные студенты покойного и работники студии «Пилот», звучала мелодия из мультфильма «Падал прошлогодний снег».
и многие другие.