В 18-летнем возрасте, Тадевосян начал выступать в составе «Пюника» в 1998 году. Однако отыграв 8 матчей был куплен «Араратом». В составе гранда армянского футбола молодой футболист Александр Тадевосян провёл 5 сезонов. С каждым сезоном Тадевосян прогрессировал, что сказывалось на результатах не только индивидуальных, но и командных. О чём говорит его капитанство в последние сезоны в «Арарате». Тадевосян был основным игроком в защитной схеме главного тренера Андриасяна.
В связи с исключение «Арарата» из всех турниров 2003 года, был вынужден перейти в другой клуб. Им стал «Пюник». С которым он завоевал 4 чемпионских титула подряд. В зимнее межсезонье 2006/2007 перешёл в иранский клуб «Барг Шираз». По окончании чемпионата перешёл обратно в стан «синих». Окончив чемпионат и здесь, перешёл в белорусский «Витебск». Как и в предыдущих клубах, за которые выступал Тадевосян, был основным игроком. Всего за «Витебск» провёл 28 игр.
В начале 2009 года перешёл в «Мику». Дебютный матч состоялся 2 мая 2009 года на «Раздане» против местной «Киликии», в котором «Мика» одолела соперника со счётом 2:1. Тадевосян стал основным игроком, а спустя некоторое время получил статус вице-капитана. Являлся одним из сталпов обороны «Мики». После окончания сезона, клуб покинул многолетний капитан Грачья Микаелян. Капитанская повязка перешла Тадевосяну, однако проносил он её не долго. В чемпионате Армении 2010 года, после 10-го тура, где «Мика» встречалась с «Киликией», Тадевосян был отстранён из клуба. Но руководство разрешило проводить тренировки вместе с командой. К этим мерам руководство прибегло после серии неудачных игр, в которых «Мика» сыграла плохо. Некоторое время ситуация вокруг Тадевосяна была неизвестна. Однако спустя, ситуация изменилась и Тадевосян продолжил выступать в составе «Мики», но капитанской повязки обратно он не получил.
В середине января 2012 года отправился в Ливан, где провёл переговоры с одной из местных команд. Спустя несколько дней, заключил контракт с командой «Аль-Ахед», выступающей в Высшей лиге чемпионата Ливана. Срок действя контракта — 6 месяцев с условием продления на 2 года.
Данные на 21 марта 2012 года
Вызов в главную сборную Александр получил в начале века. Тренеры национальной команды заметили его игру за «Арарат», который на тот момент был одним из лидеров чемпионата. С 2004 года получает постоянный вызов, являясь между тем, одним из основных игроков национальной команды. Первый матч провёл 7 июня 2002 года в товарищеском матче против сборной Андорры. На счету Александра 41 встреча на международном уровне за сборную Армении по футболу.