Александр Верижников начинал карьеру в большом футболе, играл за калининскую «Волгу».
С начала 90-х больше времени посвящал мини-футболу. В 1991 году в составе московского КСМ-24 Александр одержал победу в первом и единственном чемпионате СССР по мини-футболу. По его итогам он стал лучшим бомбардиром и был признан лучшим игроком.
В 1992—1993 играл за финские клубы «Рованиеми», КеПС и «Виссан П», при этом продолжая выступления за КСМ-24.
В 1994 году Верижников перешёл в московскую «Дину», в составе которой стал шестикратным чемпионом и пятикратным обладателем кубка России, а также три раза побеждал в Турнире Европейских Чемпионов и один раз в Межконтинентальном Кубке. По итогам трёх чемпионатов (1991, 1993 и 1998) он признавался лучшим игроком страны.
В составе сборной России по мини-футболу Александр Верижников добился победы на чемпионате Европы по мини-футболу 1999 года, а также завоёвывал бронзовые награды чемпионата мира 1996 и серебряные награды чемпионата Европы 1996.
Завершив в 2006 году свою игровую карьеру, Верижников остался в «Дине» на должности спортивного директора. А в 2009 году он был назначен главным тренером команды, однако вскоре покинул эту должность.
Личные: