Родился первенцем в семье потомственного священника Алексеевской церкви в 1854 году. У родителей — Василия Васильевича и Марии Александровны было ещё семь дочерей; в материальном отношении жили скромно.
В 1874 окончил Тобольскую гимназию. Её директором с 1857 по 1862 был П. П. Ершов, знаменитый автор «Конька-Горбунка». Осенью 1874 Адрианов поступил в Петербурге в Медико-хирургическую академию, откуда на следующий год перевёлся в Петербургский университет, на второй курс физико-математического факультета, оконченный им по естественному разряду(1879). Огромное влияние на дальнейшую судьбу Александра оказала его встреча в Петербурге с лидерами сибирского областнического движения Николаем Михайловичем Ядринцевым и Григорием Николаевичем Потаниным, вернувшимися из ссылки, которую они отбывали по обвинению в «сибирском сепаратизме».
Член Императорского Русского географического общества с 1879 года. За серию фотоснимков награждён серебряной медалью РГО.
Участвовал в экспедиции Г. Н. Потанина в Северо-Западную Монголию и в Туву в 1879 году, собирал коллекции растений (часть материалов погибла при пожаре в Иркутске). В 1881 и 1883 годах совершил два путешествия на Алтай и за Саяны по поручению Императорского Русского географического общества. Летом 1888 совершил экспедицию в Нарымский край, вёл раскопки древнего могильника на южной окраине Томска в 1887 и 1889.
С 1880 по 1905 жил и работал в Томске, Минусинске, Красноярске, Иркутске. Совмещал служебные обязанности с исследовательской работой, в том числе с раскопкой курганов, составлением коллекций, гербариев, сбором этнографического материала. Составил биографию Н. М. Мартьянова. Собранные Адриановым коллекции хранятся в музеях Томска, Минусинска, Москвы, Петербурга, Ботаническом институте, а также за рубежом.
Адрианов сотрудничал с «Сибирской газетой» в Томске со дня основания в 1881 до середины 1888, кроме того, он состоял постоянным автором газеты «Сибирь» и «Восточного обозрения».
Первооткрыватель Енисейских писаниц.
В 1906—1912 служил в управлении акцизными сборами Томской губернии и Семипалатинской области, сотрудничал в газете «Сибирская жизнь», был секретарём Томского общества изучения Сибири и Общества любителей художеств, председателем правления Общества содействия вечерним образовательным классам, членом правления Сибирского хорового певческого общества.
Был награждён орденами св. Станислава 3 степени и св. Анны 3 степени, медалями «В память царствования императора Александра III» и «За труды по первой всеобщей переписи населения», а также серебряной и золотой медалями Императорского Русского географического общества.
С 1889 находится под негласным надзором полиции, в 1913 за освещение в газете «Сибирская жизнь» стачки служащих фирмы Второва приговорён к ссылке на 3 года в Нарымский край, заменённой позднее ссылкой в Минусинск. В 1914 выслан из Минусинска в село Ермаковское Минусинского уезда Енисейской губернии за антиправительственные высказывания и публикации в газете «Минусинский край». В ссылке собирал фольклорный материал, исследовал историю и этнографию коренного населения — хакасов, проводил раскопки курганов Хакасско-Минусинской котловины. Составитель очерков по геологии, гидрографии и орографии Енисейской губернии.
В 1915—1916 совершил последнюю экспедицию в Урянхайский край.
С 1 июня 1917 до конца декабря 1919 был редактором газеты «Сибирская жизнь», активно полемизировал с большевиками и белыми правительствами.
Арестован большевиками в декабре 1919 года. Расстрелян в марте 1920 года в возрасте 66 лет за поддержку правительства А. В. Колчака.