Родился в 1908 году в Елецком уезде Орловской губернии (ныне Липецкой области). В 1925 учился в Елецком педагогическом техникуме, далее работал в городе Ливны председателем бюро юных пионеров, заместителем секретаря райкома комсомола.
С 1930 А. В. Барабанщиков — студент Липецкого горно-металлургического техникума, после окончания которого проходил службу в Красной Армии. После демобилизации вернулся в Липецк, где работал ответственным секретарём городского бюро инженеров и техников. В 1934—1935 — техник-металлург завода «Свободный Сокол».
В 1935 назначен заместителем директора горно-металлургического техникума, в 1937 — директором школы. С 1938 — на партийной работе: 1938—1939 — инструктор по промышленности Липецкого горкома ВКП (б), 1939—1940 — заведующий отделом Липецкого горкома.
В январе 1940 года А. В. Барабанщиков назначен заместителем председателя, а в марте того же года — председателем Липецкого горисполкома.
После начала Великой Отечественной войны как руководитель города сыграл большую роль в организации эвакуации большей части оборудования промышленных предприятий Липецка в тыл, переключения оставшейся техники на производство оружия и боеприпасов, организации частей самообороны.
В сентябре 1942 года после неоднократных настойчивых обращений была удовлетворена просьба Барабанщикова о снятии с него брони и отправке на фронт. 29 января 1943 года после тяжёлого ранения капитан Барабанщиков умер в госпитале города Воронежа.
В 1995 году одна из новых улиц в Липецке в посёлке Матырский получила имя А. В. Барабанщикова.
Статья директора Липецкого государственного архива Липецкой области В. Б. Полякова об Александре Барабанщикове. Опубликована в № 16 газеты «Русь святая» (сентябрь 1997).