В 1943—1947 учился в Музыкальном училище при МГК имени П. И. Чайковского в классе В. Н. Цыбина. Затем продолжил обучение в Московской консерватории (классы В. Н. Цыбина и Ю. Г. Ягудина). В 1955 году окончил ассистентуру-стажировку по специальности «флейта» (руководитель Ю. Г. Ягудин). Также занимался в классе оперно-симфонического дирижирования у Б. Э. Хайкина (окончил в 1979 году). Член правления и председатель секции духовых инструментов Международного союза музыкальных деятелей, член Союза композиторов РФ, Союза театральных деятелей. Почетный президент Международного благотворительного фонда «Дети и музыка», член редколлегии журнала «Музыкант-Классик». Член Попечительского совета Общественного фонда «Русское исполнительское искусство».
Александр Корнеев прославился в первую очередь как исполнитель-солист. Ему посвящены произведения для флейты В. Г. Кикты, О. В. Тактакишвили, С. Н. Василенко, Э. Денисова, М. С. Вайнберга, Д. И. Кривицкого, Т. И. Корганова и других. Первый исполнитель ряда произведений Д. Д. Шостаковича, А. И. Хачатуряна, С. С. Прокофьева, Т. Н. Хренникова, Д. Б. Кабалевского.
Выступал в ансамбле с С.Рихтером, Э. Г. Гилельсом, Л. Н. Обориным, Т. П. Николаевой, Б. А. Руденко, И. Масленниковой, И. С. Козловским, Д. Ф. Ойстрахом, М. Л. Ростроповичем, О. Эрдели, квартетом имени Бетховена.
В 1949—1977 гг. был солистом БСО ВР и ЦТ. В качестве оркестрового музыканта играл под управлением Е. А. Мравинского, Н. С. Голованова, А. В. Гаука, Е. Ф. Светланова, К. Мазура, Н. Ярви, Г. Н. Рождественского, К. П. Кондрашина, К. Зандерлинга, Ш. Мюнша, С. А. Самосуда, Б. Э. Хайкина и многих других.
Как дирижёр впервые исполнил одноактные оперы А. Н. Холминова «Шинель» и «Коляска» по Н. В. Гоголю, сочинения В. Кикты.
Начал педагогическую деятельность в 1954 году в Музыкальном училище при Московской консерватории. С 1963 года преподаёт в Московской консерватории (с 1993 года — профессор). С 1992 года — в Московской средней специальной музыкальной школе имени Гнесиных, Государственном училище духового искусства. С 1999 года — профессор ГМПИ имени М. М. Ипполитова-Иванова.