А. В. Свешников родился 30 августа (11 сентября) 1890 года в Коломне (ныне Московская область). В 1913 году окончил Музыкально-драматическое училище Московского филармонического общества, учился также в Народной консерватории.
С 1909 года работал регентом и преподавал пение в московских школах. С 1921 по 1923 год руководил хоровой капеллой в Полтаве; в первой половине 1920-х годов — один из самых известных в Москве церковных регентов (регент храма Успения на Могильцах). Одновременно заведовал вокальной частью 1-й студии МХАТа.
В 1928—1936 годах руководил созданным им вокальным ансамблем (затем хором) Всесоюзного радио; в 1936—1937 — художественный руководитель Государственного хора СССР. В 1937—1941 — художественный руководитель Ленинградской капеллы. С 1941 года снова руководитель Государственного хора СССР.
В 1944 организовал Московское хоровое училище (впоследствии на его базе Виктором Сергеевичем Поповым была создана Академия хорового искусства), в которое принимались мальчики 7-8 лет и которое имело прототипом дореволюционное Синодальное училище.
В 1948—1975 ректор МГК имени П. И. Чайковского.
А. В. Свешников умер 3 января 1980 года. Похоронен на Новодевичьем кладбище (участок № 9).
Свешников был хормейстером и руководителем авторитарного типа, но при этом настоящим мастером хорового дирижирования, глубоко воспринявшим старую русскую традицию. Его многочисленные обработки народных песен превосходно звучат в хоре и до сих пор широко исполняются. Репертуар Государственного русского хора во времена Свешникова отличался большим диапазоном, включал множество крупных форм русских и зарубежных авторов. Главным памятником искусства этого хормейстера осталась великолепная, глубоко церковная по духу и до сих пор не превзойденная запись Всенощного бдения С. В. Рахманинова, осуществлённая им в 1965 году.
Свешников был назначен ректором Московской консерватории в ходе музыкально-идеологического погрома 1948 года, когда с этой должности был снят композитор Виссарион Шебалин, обвинённый в "формализме". Занимая пост ректора консерватории на протяжении почти 30 лет, Свешников проводил самую жёсткую линию, представлявшую из себя характерную смесь ортодоксальной советской идеологии и казённого "патриотизма" (характерного для многих бывших деятелей искусства национально-клерикальной ориентации, нашедших себе новое применение в послевоенные сталинские годы "борьбы с космополитизмом" .)