А. В. Вишневский родился 23 августа (4 сентября) 1874 года в дагестанском селе Новоалександровка (ныне село Нижний Чирюрт Кизилюртовского района Дагестана).
В 1899 году окончил медицинский факультет Казанского университета. В ноябре 1903 году защитил докторскую диссертацию.
С 1914 по 1925 годы руководил госпитальной хирургической клиникой, а с 1926 по 1934 годы — факультетской хирургической клиникой в Казани.
В 1934 году Александр Вишневский был назначен директором хирургической клиники Центрального института усовершенствования врачей и Всесоюзного института экспериментальной медицины в Москве. В 1946 году он стал директором Института хирургии Академии медицинских наук СССР.
Вишневский проводил исследования в области хирургии жёлчных путей, мочевой системы, грудной полости, а также нейрохирургии, хирургии военных повреждений и гнойных процессов. Он разработал самый известный метод обезболивания — новокаиновую блокаду, местную анестезию по методу. За год до смерти А. В. Вишневский основал Московский институт хирургии АМН СССР (с 1948 года клиника носит его имя).
Сын — А. А. Вишневский
А. В. Вишневский скончался 13 ноября 1948 года. Похоронен в Москве на Новодевичьем кладбище (участок № 3).