Александр родился 10 сентября 1968 года в Нью-Йорке, США. Учился в Университете дружбы народов на факультете истории. Не окончив его, в 1988 был призван в Советскую армию, где и познакомился с Максимом Кочетковым. По окончании службы они основали группу «Наив», играющую панк-рок.
Помимо участия в «Наиве», Чача был соведущим программы «Земля-Воздух» на ТВ-6 в 2001—2002 и вел передачу «За гранью» на радио Ultra в 2002—2003 г. Снялся в фильме «Здравствуйте, мы - ваша крыша!» в роли продавца автомобилей.
В январе 2009 года музыкант заявил об уходе группы «Наив» в творческий отпуск. Данное заявление музыканта было связано с усталостью, которая накопилась за двадцать лет работы в «Наиве» без времени на отпуск.
В феврале 2010 года стартовал новый проект Александра Чачи Иванова под названием «RadioЧача». Сравнивать этот проект с НАИВОМ Чача не хочет: «Мне трудно сейчас дать объективную оценку. Я же человек, вовлечённый в процесс, и смотрю на него изнутри. Но мне кажется, что да, отличается. Давайте дождёмся реакции отстранённых людей, которые это услышат и потом скажут, есть в моём сольном творчестве какое-то новаторство или же это всё-таки продолжение НАИВА. Но мне, повторюсь, кажется, что отличия есть: мне хочется говорить о другом, и по-другому решать какие-то чисто технические вопросы. Время покажет». — прокомментировал Чача. Старт нового проекта состоялся 17 апреля в клубе «Точка».