Родом из деревни Крамская, ныне Куркинского района Тульской области.
В 1937 году начала играть в хоккей с мячом в команде «Красная роза» (Москва). В 1943-1947 выступала за хоккейную команду «Динамо» (Москва). В её составе становилась обладателем Кубка СССР (1945, 1947), победителем (1945, 1946) и призёром чемпионатов Москвы.
В 1945—1963 выступала за волейбольную команду «Динамо» (Москва). В её составе: чемпионка СССР 1947, 1951, 1955, 1960, 1962, 2-й призёр чемпионатов СССР 1949, 1952, 1957, 1958, 3-й призёр 1950; обладатель Кубка европейских чемпионов 1961 и 1963, обладатель Кубка СССР 1950, 1951, 1953. В составе сборной Москвы стала двукратной чемпионкой (1956, 1963) и серебряным призёром (1958) Спартакиады народов СССР (также чемпионкой СССР 1956 и 1963).
В сборной СССР по волейболу выступала в 1949—1960 годах. В её составе стала трёхкратной чемпионкой мира (1952, 1956, 1960), четырёхкратной чемпионкой Европы (1949, 1950, 1951, 1958), серебряным призёром европейского первенства 1955.
Александра Чудина является одной из самых именитых и разносторонних советских легкоатлеток. В 1945—1956 годах 39 раз становилась чемпионкой СССР в различных легкоатлетических дисциплинах (бег 400 метров, бег 80 метров с барьерами, эстафеты 4х100 и 4х200 метров, пятиборье, прыжки в длину и высоту, метание копья). В 1953—1956 годах ей принадлежал ряд высших мировых достижений. 9 августа 1953 в Бухаресте и 7 сентября 1955 в Москве она устанавливает мировые рекорды в пятиборье, а 22 мая 1954 года на соревнованиях в Киеве — в прыжках в высоту — 1 м 73 см (держался до 5 мая 1956).
На Играх XV Олимпиады в 1952 году в Хельсинки стала трёхкратным призёром соревнований по лёгкой атлетике, завоевав серебряные медали в прыжках в длину и метании копья и бронзовую в прыжках в высоту.
На чемпионате Европы по лёгкой атлетике 1954 года в Берне выиграла «золото» в пятиборье и «серебро» в прыжках в длину.
После завершения спортивной карьеры Александра Чудина занималась тренерской и административной работой в спортивном обществе «Динамо». Умерла в Москве 28 октября 1990 года.
В 1957 году Александра Чудина была награждена орденом Ленина.