Главными направлениями научной деятельности являются биоорганическая химия и молекулярная биология.
В 1958 году окончил химический факультет МГУ, там же обучался в аспирантуре под руководством М. А. Прокофьева. Тема, защищённой в 1962 году кандидатской диссертации: «Пептиды, ковалентно связанные с РНК». В 1973 году защищает докторскую диссертацию по теме «РНК-белковые взаимодействия в рибосомах». Всё это время работает на химфаке МГУ, где так же в 1973 году получает звание профессора. В 1985 году становится заведующим кафедрой химии природных соединений химического факультета. В то же время с 1969 года работал в Институте физико-химической биологии им. А. Н. Белозерского МГУ, где до 2002 года заведовал отделом химии и биохимии нуклеопротеидов и выполняет обязанности заместителя директора. С 2001 года — главный научный сотрудник того же отдела.
В 1984 году избран членом-корреспондентом АН СССР, а в 1994 году — действительным членом РАН.
Автор более чем 180 работ.
Научные исследования А. А. Богданова лежат в области биохимии комплексов нуклеиновых кислот с белками. В 1960-х годах для ДНК и высокополимерных РНК им было доказано существование природных ковалентных соединений нуклеиновых кислот с белками, что положило начало новому направлению в биохимии. А. А. Богданов также открыл явление разворачивания рибосом и совместно с А. С. Спириным показал принципиальную возможность их самосборки. Со своими сотрудниками Богданов выполнил ряд работ по изучению превращения РНК в рибосомах и предложил новый метод структурного анализа РНК, позволяющий разрывать их цепочки в произвольных участках. Разработанный метод применяется для синтеза рекомбинантных РНК, а также для изучения их функций. Богдановым при помощи фотоаффиной химической модификации выявлена тонкая структура функциональных центров рибосомы, в частности её декодирующего центра. Изучена пространственная структура и функции 5S РНК в рибосоме.
А. А. Богданов преподаёт на химическом факультете МГУ. В 1961—1962 годах им создан практикум по химии белка и нуклеиновых кислот. В разные годы читал такие курсы как «Основы молекулярной биологии», «Нуклеиновые кислоты: структура и функции», «Химические основы биологических процессов». В Институте физико-химической биологии А. А. Богдановым в 1996 году организована лекционная программа по молекулярной и клеточной биологии. Принимал участие в написании трёх учебников по химии нуклеиновых кислот и молекулярной биологии. Читал курсы лекций в Массачусетском университете в Амхерст (англ.) и других университетах мира.