Алексей Боровой родился в Москве, окончил юридический факультет Московского университета (1898), получил должность приват-доцента Московского университета (вышел из состава преподавателей в 1911). В 1903—1905 был в заграничной командировке. В юности увлёкся социалистическими идеями, в частности, марксизмом, хотя впоследствии разочаровался в нём. Помимо марксизма, философия Борового формировалась под влиянием Бергсона, персонализма, интуитивизма, ницшеанства.
В 1906—1910 руководил московским издательством «Логос». С апреля 1906 выступал с лекциями об анархизме в Московском историческом музее, после чего стал подвергаться политическим преследованиям, в связи с чем был вынужден эмигрировать во Францию, где жил с 1910 по 1913. После возвращения в Россию в 1913 занимался в основном журналистикой, в политику вернулся после Февральской революции 1917 года. Редактор журнала «Клич» (1917), один из лидеров Московского союза идейной пропаганды анархизма (1918).
В 1921 стал одним из учредителей Всероссийского комитета по увековечению памяти П. А. Кропоткина, с 1923 работает в Кропоткинском музее в Москве. После 1921 преследования Борового по политическим мотивам продолжились — ему запрещают заниматься преподавательской деятельностью и исключают из преподавательского состава МГУ. В 1929 Алексей был сослан в Вятку, а в 1932 — во Владимир, где и скончался.