Родился в Кашире 2 февраля 1924 года в семье рабочих. Уже в ранней юности, благодаря художественному таланту, стал основным кормильцем семьи — выполнял заказы состоятельных жителей этого небольшого городка. Стремление стать настоящим художником привело его в Москву, куда он приехал в 1939 году, после окончания школы, и поступил в Московское государственное академическое художественное училище памяти 1905 года. В том же году перешёл в Театрально-художественное училище, откуда в первые дни войны добровольцем ушёл на трудовой фронт, после чего вернулся в родной город и работал на Каширской электростанции. В феврале 1942 года был призван Каширским райвоенкоматом Московской области в ряды Советской армии и до января 1944 года служил рядовым. В октябре 1944 поступил в Московскую городскую художественную студию для инвалидов Отечественной войны, которую закончил в 1950 году. Его дипломная работа была удостоена высоких оценок К. Ф. Юона и Г. Г. Ряжского. В 1952 году был принят в Московское товарищество художников и работал в цехе станковой живописи. С 1969 — член МОСХа (живописное отделение). Участник многочисленных выставок в СССР и за рубежом, в том числе на японском острове Кюсю (1975 год), где были представлены работы лучших художников всего СССР.
Не был художником-копиистом, однако именно ему поручали правительственные заказы для исполнения копий великих русских художников для правительства СССР и зарубежных стран — В. В. Верещагина, И. К. Айвазовского, И. И. Шишкина и др. Копия картины Шишкина «Лесные дали» была подарена Л. И. Брежневу на 70-летие. Круг возможностей А. А. Шишина был необычайно широк. Писатель В. А. Солоухин доверял ему реставрацию икон из своей уникальной коллекции, называл его лучшим реставратором. Пейзажи А. А. Шишина на выставке в Москве в 1973 г. приобрели космонавт А. А. Леонов, посол СССР в Австралии, публицист Михаил Лобанов и др.