Родился 14 марта 1866 года в Санкт-Петербурге. В 1894 окончил Петербургский лесной институт со званием учёного лесовода 2-го разряда. Свою первую шахматную задачу опубликовал, ещё будучи студентом, в 1893 году, первый этюд — в 1895 году.
В период с 1896 по 1917 годы работал лесничим в Смоленской и Ковенской губерниях; позже в Долгоруковском, Головинщинском и Чернозерском лесничествах Пензенской губернии.
Работая лесничим, Троицкий составил шахматные этюды, которые прославили его и определили весь его дальнейший творческий путь. Кроме того, в период с 1895 по 1901 годы Троицкий выдвинул и представил в художественной форме наиболее актуальные этюдные идеи, а в период с 1905 по 1917 годы разработал основы теории этюда, которые актуальны и для современной шахматной композиции. Троицкий расширил тематику этюдов, более подробно разработал уже открытые им темы (систематические движения фигур, превращения пешек в слабые фигуры, борьба фигур в различных сочетаниях, синтез идей и т. д.), опубликовал ряд теоретических работ, а также фундаментальное исследование по отдельным темам теории эндшпиля.
В период с 1917 по 1923 годы временно отошёл от шахмат. В 1918 году переехал в Пензу, где начал работать инструктором в Пензенском губисполкоме.
С 1923 года Троицкий возвращается к шахматам и начинает совершенствовать открытые им ранее идеи. Он возглавляет губернскую шахматную секцию и шахматный отдел в местной газете «Трудовая правда», где начинает публиковать свои этюды и организовывать шахматные турниры.
В 1928 году за заслуги в области шахматного этюда Троицкому было присвоено звание заслуженного деятеля искусств РСФСР. В 1934 году он стал первым в стране мастером спорта СССР по шахматной композиции. В этом же 1934 году переехал в Ленинград, где жил до самой смерти. Алексей Алексеевич Троицкий скончался во время блокады 14 августа 1942 года.
Наследие Троицкого составляет около 800 опубликованных (в том числе и за рубежом) шахматных композиций (около 750 этюдов, 50 задач-шуток и аналитических задач на ретроанализ).
Троицкий укрепил связь этюда с практической игрой. Эта связь заключается в естественности и жизненности начальной позиции (этюд должен быть как бы эпизодом из партии), в обоюдоострой, полной эмоционального содержания борьбе с неожиданными эффектными жертвами, манёврами, интересными, подчёркивающими основную идею ложными следами, в красивом, запоминающемся финале.
Троицкий не только дал законченное теоретическое и творческое определение принципов этюдной композиции, но и виртуозно продемонстрировал их на примере собственного творчества. Главная заслуга Троицкого состоит в том, что он перенёс в этюд свойственную практической партии борьбу во всей её красоте и разнообразии и выразил эту борьбу в художественной, экономичной и зрелищной форме.
Решение этюда 1: 1.Сh6+ Крg8 2.g7 Крf7 (2…e6+ 3.Kpd6!! Kpf7 4.Kpe5 Kpg8 5.Kpf6; 2…e5 3.Kpe6) 3.g8Ф+!! Кр:g8 4.Крe6 Крh8 5.Крf7 e5 6.Сg7 ? Мат одиноким слоном.
Решение этюда 2: 1.Сc6! Лb1+ 2.Крe2 Л:h1 3.Сg2+!! Кр:g2 4.Кf4+ Крg1 5.Крe1 g2 6.Кe2 ? Мат одиноким конём.
Решение этюда 3: 1.Сb4+! Крb3! (1…Кр:b4 2.Кd3+ Крc3 3.К:f2 fe 4.Кe4+ Крd3 5.Кf2+ Крe3 6.Кg4+ с вечным шахом) 2.К:f3!! f1Ф+ 3.Сe1 Фg2 (другого выхода у ферзя нет) 4.Сg3 Крc3 5.Крd1 — ферзю из клетки не вырваться. Позиционная ничья при материальном преимуществе чёрных.