Родился 12 октября 1966 года. Первые песни написал в седьмом классе английской спецшколы 1266 в Москве.
В 1983 году Кортнев, поступив на механико-математический факультет МГУ, отправился на прослушивание в музыкальную студию при Студенческом театре МГУ и познакомился с Валдисом Пельшем, с которым через два месяца вышел на сцену под именем «Дуэт „Несчастный случай“». За короткое время состав «НС» увеличился до четырёх человек.
Обучение на факультете не закончил.
Играл за команду КВН МГУ в сезоне 1987—1988 годов.
В 1988 году у Кортнева родился сын Артемий в браке с И. Богушевской. Вторая жена — Юлия Рутберг. Впоследствии родились ещё четверо детей — Никита (мама — Елена Ланская), от брака с гимнасткой Аминой Зариповой — Арсений, Афанасий и Аксинья.
В 1990 году Алексей Кортнев вместе с Валдисом Пельшем, актёром Игорем Угольниковым, Сергеем Денисовым и Андреем Гуваковым придумал и участвовал в постановке популярной телепередачи «Оба-на». Затем последовали телепроекты «Дебилиада», «Синие ночи», «Пилот», «Несчастный случай» и др.
Продолжительное время Кортнев совмещает игру в Студтеатре МГУ, выступления и гастроли группы «Несчастный случай» с работой в кино и на телевидении.
Кортнев пишет тексты для рекламы, им придуманы слоганы «Пепси», «Wrigley», «M&M’s», «Moccona» и др.
Вместе с Валдисом Пельшем Алексей Кортнев стоял у истоков программы «Золотой граммофон» на «Русском радио», какое-то время вел одноименную передачу на НТВ.
Переводчик текстов популярных зарубежных мюзиклов, поставленных в России («Кошки», «Иствикские ведьмы», «Mamma Mia!», «Красавица и чудовище»).
Исполнил роль Ромашова в российском мюзикле «Норд-Ост».
Кортнев — автор текстов и соавтор музыки, а также исполнитель большинства песен, звучащих в спектаклях, выпущенных в соавторстве с «Квартетом И», «День радио», «День выборов» и в одноименных фильмах «День радио», «День выборов», такие песни как «Куплеты», «Романс об избирательной урне», «Народная», «Воровская» .
Талантливый поэт, автор большинства текстов песен, исполняемых группой «Несчастный случай», автор текстов песен к спектаклю 2008 МХТ им. А. П. Чехова «Конёк-горбунок». Спектакль удостоен Высшей театральной премии Москвы «Хрустальная Турандот» (номинация «Лучший спектакль сезона», 2008 г.) и Национальной театральной премии «Золотая маска» (номинация «Лучший спектакль в жанре оперетты / мюзикла», 2009 г.).
Озвучил в переводной версии мультфильма «Кошмар перед Рождеством» (по сценарию Тима Бёртона) Джека Повелителя Тыкв.
Вёл программу «Несчастный случай» на Ren TV. Сотрудник телекомпании АТВ, долгое время являлся голосом заставки телекомпании.
Исполнял и написал песни ко многим телепередачам («Моя семья», «Сам себе режиссёр», «Эти забавные животные» и другие)
В 2011 году сыграл роль обманутого мужа по имени Ховард в спектакле «Уйти нельзя остаться» по пьесе Вуди Аллена «Централ Парк Вест» режиссёра Тимофея Сополева. Кортнев о герое:
24 декабря 2011 года Кортнев принял участие в митинге «За честные выборы!» на проспекте Сахарова в Москве, исполнив песню «Шла Саша по шоссе»
Основная дискография Алексея Кортнева совпадает с дискографией группы «Несчастный случай». Также Кортнев сольно выпустил диск «Кортнев Алексей и „Музыкальные руководители“ Нелегенды Русского Шансона» и записал совместно с Владимиром Качаном альбом «Му-Му и адвокат».