Академики математик А. М. Ляпунов, филолог-славист Б. М. Ляпунов и физиолог И. М. Сеченов приходились Алексею Андреевичу близкими родственниками.
В 1928 году Ляпунов поступил на физико-математический факультет Московского университета. Однако через полтора года ему пришлось покинуть университет как «лицу дворянского происхождения». С 1932 года Алексей Андреевич становится учеником академика Н. Н. Лузина. Под его руководством и по составленным им программам Алексей Андреевич получил математическое образование, а вскоре и первые результаты в дескриптивной теории множеств. В этой области математики А. А.Ляпунов работал до конца жизни. Теории множеств и теории функций посвящены 62 работы Алексея Андреевича, включая монографию. Будучи учеником Лузина, Алексей Андреевич сблизился со старшими его учениками, известными математиками Н. К. Бари, М. А. Лаврентьевым, Д. Е. Меньшовым, Л. А. Люстерником, А. Н. Колмогоровым, Л. В. Келдыш, П. С. Новиковым.
С 1934 года до начала 1950-х годов А. А. Ляпунов работал в Математическом институте им. В. А. Стеклова, где под руководством П. С. Новикова прошла его докторантура.
Когда академик М. В. Келдыш организовал в 1953 году в составе Математического института АН СССР Отделение прикладной математики (ныне Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН, он предложил А. А. Ляпунову возглавить в нём работы по программированию.
В 1955 году подписал «Письмо трёхсот».
С 1961 года Алексей Андреевич работал в Институте математики Сибирского отделения АН СССР, где фактически создал отделение кибернетики. В Новосибирске он также основал кафедру теоретической кибернетики Новосибирского университета и лабораторию кибернетики Института гидродинамики СО АН СССР, которыми руководил до конца своей жизни.
В 1964 году А. А. Ляпунов был избран членом-корреспондентом АН СССР по Отделению математики.
Награждён орденом Ленина, другими орденами СССР и медалями. В 1996 году Алексею Андреевичу была присуждена медаль «Пионер компьютерной техники» («Computer Pioneer»).