Алексей Ашапатов родился 30 октября 1973 года в Саратове. В 1996 году окончил Пермский государственный университет. После службы в армии, которую проходил в Ноябрьске, решил остаться на Севере. Профессионально занимался волейболом. Играл в волейбольных командах Ноябрьска, Нижневартовска и Сургута: «Торуме» и «ЗСК-Газпром».
В результате несчастного случая, произошедшего с ним в 2002 году, потерял ногу. Несмотря на это вскоре продолжил занятия спортом. Стал мастером спорта по волейболу сидя. Кроме волейбола серьёзно занимается и другими видами спорта: мастер спорта международного класса по армрестлингу и заслуженный мастер спорта по лёгкой атлетике, абсолютный чемпион Европы по метанию диска среди лиц с ограниченными физическими возможностями.
Тренируется под руководством заслуженного тренера России Валерия Прохорова.
На церемонии открытия Паралимпийских игр в Пекине был знаменосцем сборной России.
Награждён орденом Почёта.