Родился в Харькове в семье врачей. В старших классах школы сильно увлекся рок-музыкой и в течение пяти лет занимался игрой на барабанах, мечтая о карьере профессионального музыканта и собственных записях. Однако финансовые проблемы вынудили его расстаться с этой мечтой. Служил в Роганском отдельном радиотехническом батальоне Вооруженных Сил Украины. После основного срока, остался в армии на сверхсрочную службу. После армии некоторое время работал в качестве охранника, в автомастерской, именно там появились первые главы «Ветра и стали».
В 1996 году Алексей показал «Ветер и сталь» харьковскому фантасту Дмитрию Громову, с которым был знаком ещё с времен активного увлечения роком в юности. Ознакомившись с творчеством Бессонова, Громов убедил его в необходимости заняться литературой всерьез. Последовав его совету, в 1996 году был написан роман «Маска власти» и повесть «Мир в красном камне», продолжающие историю об Алексе Королёве. Через месяц после окончания работы над «Маской власти» к произведениям молодого автора проявило интерес издательство «ЭКСМО», и в 1998 году была опубликована дебютная книга Алексея Бессонова «Ветер и сталь», в которую вошли все три этих произведения. Несколько позже вышла дилогия «Замкни судьбу в кольцо», состоящая из романов «Наследник судьбы» и «Ледяной бастион». Именно вселенная Алекса Королёва — мир Империи и Конфедерации, по которому автором создано 10 произведений, принёс Бессонову популярность.
В 1999 году был написан отдельный фантастический роман, действие которого происходит не в мире Королёва, а в Европе Второй мировой войны — «Алые крылья огня». Он является единственным крупным произведением автора вне каких-либо циклов и серий. К 2001 году писателем было написано более десятка рассказов, принятых к публикации журналами «Порог» (г. Кировоград), «Уральский следопыт» (г. Екатеринбург), «Звёздная дорога». В том же году Алексей впервые посетил харьковский фестиваль «Звёздный мост», где был не только в качестве молодого писателя, но и принял участие в качестве ударника в сейшн-концерте вместе с писателями Юлием Буркиным и Владимиром Васильевым и харьковской рок-группы «Пасхальное Шествие». Впоследствии Бессонов участвовал практически во всех «Звёздных мостах» и «Росконах». Неоднократно номинировался на различные награды конвентов. В 2007 году на «Звёздном мосту» получил премию от мэрии Харькова, которая вручается писателям-харьковчанам за достойное представление родного города в фантастической литературе.
В 2002 году вышел первый роман нового цикла «Господин Посредник» — «Чёрный хрусталь». Вторая книга, одноимённая серии, увидела свет спустя год, заключительная же часть трилогии под рабочим названием «Ночь пляшущей тени» была запланирована на конец 2006 года, но она так и не была закончена.
С 2005 года живёт в Санкт-Петербурге, где продолжает заниматься творческой деятельностью. В 2005 же году выходит роман «Извне», и автором создаётся его предыстория — «Концепция Лжи». В 2007 году выходит роман из серии «Миры Конфедерации» — «Пройдя сквозь дым», а в 2008 — первый авторский сборник Алексея — «Корпорация „Феникс“», включающий в себя два цикла рассказов. Первый цикл «…про барона и дракона» написан в юмористической и даже пошловатой манере, высмеивающей романтизацию условно-средневекового мира и жанр фэнтази в целом. Второй, один из рассказов которого и дал название книге, называется «На борту „Гермеса“» и представляет собой типичный набор из шести забавных коротких историй в духе «ААА-ПОПС» Роберта Шекли. «Космические дальнобойщики» Сэмэн Колоброд и Персиваль Пиккете, а также примкнувшем к ним инопланетянине Тхоре, похожий на здоровенного четырехрукого кролика с мехом в полоску, путешествуют по космосу и попадают в различные курьёзные ситуации.
В своей автобиографии Бессонов говорит, что его любимая книга — «Похождения бравого солдата Швейка» Ярослава Гашека, а любимые писатели — Эрих Мария Ремарк и Габриэль Гарсия Маркес.
В детстве Алексей познакомился с творчеством Ивана Ефремова («Туманность Андромеды») и Станислава Лема («Непобедимый»), именно они оказали на будущего писателя огромное влияние и заложили в нём любовь к космической фантастике. Фэнтази же не привлекает его, он признаётся: «В силу рано сформировавшегося стереотипа „романтики звезд“, я совершенно не умею и не люблю писать о колдунах, драконах и достопочтенных джентльменах с длинными ножами. Более того, к фэнтези в целом отношусь со снисходительной брезгливостью».
Писатель отзывается о своём творчестве достаточно самокритично: «К своему творчеству я отношусь, мягко говоря, критично, не считая себя ни гением, ни даже крепким профессионалом. Иногда мне все даётся легко, играючи, иногда — намного сложнее, но факт то, что пишу я, увы и ах, весьма неровно, и всякий раз, заканчивая вещь, испытываю сильнейшее желание переписать её заново. К тому моменту, когда книга доходит до читателя, мне за неё уже стыдно».
Кроме идущего ещё с подросткового возраста увлечения фантастикой и рок-н-роллом, Алексей Бессонов интересуется автомобилями (в 2003 году имел ВАЗ-2103), техникой и военной историей. Особое место занимает поршневая авиация периода Второй мировой войны (ей посвящён роман «Алые крылья огня»). Любит собственноручно собирать миниатюрные модели самолетов.
Йорг Детеринг
Алекс Королёв
Хикки Махтхольф
Замкни судьбу в кольцо
Миры Конфедерации
…про барона и дракона
На борту «Гермеса»
Рассказы Бессонова публиковались в нескольких межавторских сборниках.