Вырос в Запорожье. Учился на химическом факультете Одесского университета, на историческом факультете (1965—1968) и факультете журналистики МГУ (1971—1974). Совместно с Б. Кенжеевым был лидером и участником неофициальной поэтической группы «Московское время». В 1975 г. был вынужден эмигрировать в США. Редактировал газету «Русская жизнь» в Сан-Франциско (1976-77). Учился в Мичиганском университете, защитил диссертацию (1983). Преподавал в колледже Дикинсон (штат Пенсильвания) русскую литературу. С 1989 г. работал в Мюнхене и в Праге на радио «Свобода» редактором и ведущим программ «Седьмой континент» и «Атлантический дневник». С 2007 живёт в Вашингтоне (США), в начале 2009 переехал в Нью-Йорк.
В конце 1980-х гг. прекратил писать стихи, обратившись к прозе. Неоконченный роман «Просто голос», созданный в виде автобиографии римского воина (доведённой лишь до отроческого возраста), отражает представление Цветкова о римской цивилизации как одной из вершинных точек истории человечества, а в отношении поэтики отличается отточенностью стиля, обилием лирико-философских отступлений, прямо наследуя прозе Владимира Набокова и Саши Соколова.
В 2004 году после 17-летнего перерыва Алексей Цветков вернулся к поэтическому творчеству, менее чем за полтора года сочинив новую книгу стихов.
Лауреат премии Андрея Белого (2007).
Перевел трагедию «Гамлет» Шекспира. Отрывок из перевода опубликован в 2008 г. в журнале «Новый мир».