Алексей Дикий родился 12 (24) февраля 1889 года, (по другим источникам — 25 апреля), в Екатеринославе, (ныне — Днепропетровск, Украина) — центральном городе Екатеринославской губернии Российской империи. С раннего детства Алексей увлекался театром, что было семейной традицией: сестра Алексея Денисовича — украинская актриса Дикова М. Д.; её мужем был актёр и режиссёр А. Л. Суходольский. Первые театральные впечатления Дикого — искусство замечательных украинских актёров Кропивницкого, Саксаганского, Карпенко-Карого, Заньковецкой. Мальчиком, в 6 лет, он начал участвовать в спектаклях харьковской труппы Суходольского. Дарование молодого актёра открыл И. Уралов и пригласил его в студию при МХАТе.
В 1909 году 20-летний Алексей переехал в Москву и поступил в частную театральную школу артистки МХТ С. В. Халютиной, занимался здесь у К. А. Марджанова и В. Л. Мчеделова.
В 1910 году Алексей Дикий был принят в МХТ, где успешно дебютировал в небольщой роли судебного пристава (дряхлого старика) в «Живом трупе» Л. Толстого. Учителями Алексея Дикого стали Константин Станиславский и Владимир Немирович-Данченко.
С 1913 года, по окончании драматических курсов при Художественном театре, Дикий начал выступать на сцене 1-й Студии МХТ (позже МХАТ 2-й). Первая роль — Алёшка («На дне» М. Горького), затем Миша («Провинциалка» Тургенева), Баренд («Гибель „Надежды“» Хейерманса, 1913).
Начавшаяся в августе 1914 года Первая мировая война прервала его актёрскую деятельность. Военные годы он считал «безнадёжно потерянными».
В 1917 году играл роли Епиходова и Львова в спектаклях по пьесам Чехова «Вишнёвый сад» и «Иванов».
С января 1918 года возобновилась работа в МХТ и в 1-й Студии. Спустя год Дикий выступил в роли режиссёра в постановке Вахтангова «Потоп» Г. Бергера (Вахтанговская студия), позже сыграл роль Фрезера. В 1919 году сыграл Джона Пирибингля («Сверчок на печи» Диккенса), в 1924 году — Молчанова («Расточитель» Лескова).
Дикий был мастером острохарактерных, озорных и задиристых портретов. В 1921 году поставил свой первый спектакль «Зелёный попугай» А. Шницлера в Театре-студии им. Ф. И. Шаляпина. Спектакль получил похвалу в прессе за колоритность, темпераментность и современность — эти черты становятся характерными для Дикого-режиссёра. В 1923 году — режиссёр постановки «Герой» Синга в 1-й Студии МХТ. Продолжая играть в 1-й Студии МХАТ (герцог Иоанн в спектакле «Эрик ХIV»), ставил спектакли в Московском Детском театре («Пиноккио» по Коллоди, «Находка» Е. Тараховской), в театре «Комедия (бывший Корш)» («Обращение капитана Брассбаунда» Б. Шоу; «Тень осла» Л. Фульда), в Драматическом театре ленинградского Народного дома, работал с ленинградскими художниками-авангардистами: с художником Н. Радловым поставил «Землетрясение» П. Романова, с художником А. Лентуловым оперу «Степан Разин» (1925) П. Триодина.
Также в 1925 году поставил во МХАТе 2-м спектакль «Блоха» Е. Замятина (по Н. С. Лескову (играл роль Платова), худ. Б. Кустодиев) — это одна из наиболее значительных режиссёрских работ.
К 1925—1926 годам определились основные черты режиссёрского и актёрского дарования Дикого: любовь к ярким и сильным сценическим краскам, к броскости сценического рисунка, к монументальности и масштабности актёрских образов; искусство Дикого порою тяготело к балаганному комизму и к гневной сатире.
В 1928 Дикий поставил спектакль «Человек с портфелем» Файко в Московском театре Революции.
В 1928—1929 годах Дикий работал в Тель-Авивe и Яффо, где осуществил две театральных постановки.
В 1931 году Алексей Дикий создал Театрально-литературную мастерскую (в 1935 году переименованную в «Студия Дикого»), где вёл режиссёрскую и педагогическую работу, в частности поставил спектакль «Леди Макбет Мценского уезда» по Н. С. Лескову.
В 1932—1936 годах руководил московским Театром им. ВЦСПС (спектакли «Матросы из Каттаро» Вольфа, «Глубокая провинция» Светлова).
В 1936 году Дикий переехал в Ленинград.
В 1936 году Алексей Дикий стал главным режиссёром Большого драматического театра им. Горького, постановил несколько спектаклей: «Матросы из Каттаро» Фридриха Вольфа (1936), «Большой день» В. Киршона, «Пушкинский спектакль» («Моцарт и Сальери», «Русалка», «Сцены из рыцарских времен» А. С. Пушкина, 1937); событием в истории театра стала постановка «Мещан» А. М. Горького.
17 августа 1937 года Алексей Дикий был арестован и 2 сентября 1938 года приговорен Особым совещанием НКВД СССР по статье 58 к 5 годам лишения свободы. Для отбытия наказания был направлен в Усольлаг НКВД. 28 августа 1941 года дело было прекращено.
После освобождения из заключения, с осени 1941 года, Алексей Денисович работал в московском Театре им. Вахтангова, находившемся в то время в эвакуации в Омске; здесь он поставил спектакли «Олеко Дундич» по пьесе A. Ржешевского и М. Каца и «Русские люди» Константина Симонова. В спектакле «Фронт» по пьесе Корнейчука (1942) Дикий сыграл генерала Горлова — одну из лучших своих ролей.
Вместе с театром Алексей Денисович вернулся в Москву; в сентябре 1944 года перешёл в Малый театр, где работал в качестве режиссёра и актёра до 1952 года, когда был переведён в Московском драматическом театре им. Пушкина. В 1944 году стал членом Художественного совета при Комитете по делам кинематографии.
Среди режиссёрских работ Дикого 40—50-х годов — спектакли «Мещане» А. М. Горького (1946), «Калиновая роща» Корнейчука (1950) — в Малом театре; «Тени» Салтыкова-Щедрина (1953) в Московском драматическом театре им. Пушкина.
C 1943 года Алексей Дикий снимался в кино, сыграл главные роли в кинофильмах «Кутузов», «Адмирал Нахимов». Исполнение Диким роли Сталина в фильмах «Третий удар» (1948) и «Сталинградская битва» (1949) понравилось прототипу, хотя сам Дикий говорил: «Я играю не человека, а гранитный памятник»[неавторитетный источник?].
Похоронен на Новодевичьем кладбище в Москве.
Сестра Дикого — M. Д. Дикова — известная украинская актриса, её муж — актёр, режиссёр и театральный деятель А. Л. Суходольский, руководил труппой в Харькове.
Московский еврейский театр
МХАТ-2
Большой театр
Театр Революции
Студия Дикого
Театр им. ВЦСПС
Малый театр
Ленинградский БДТ
Театр им. Вахтангова