Алексей Эдуардович Бобра родился 22 марта 1921 года в Петрограде в семье железнодорожников. Его отец Эдуард Константинович Бобра — латыш по национальности, член ВКП(б) с 1920 года — работал помощником машиниста в Витебском отделении Октябрьской железной дороги, впоследствии он продвинулся по профсоюзной лини. В 1937 году репрессирован «за антисоветскую деятельность». Расстрелян в январе 1938 года. Реабилитирован в 1957 году. Мать Анисья Алексеевна работала проводницей. Умерла в 1966 году.
После окончания школы подавал документы в лётное училище, но как сын «врага народа» не был принят.
Во время Великой Отечественной войны воевал на Лужском рубеже, строил укрепления на подступах к Ленинграду, был одним из участников сооружения Дороги Жизни. Награждён медалями «За оборону Ленинграда», «За отвагу», «За победу над Германией», орденом Красной Звезды. На фронте он вступил в партию.
В 1945 году женился на медсестре санитарного поезда Людмиле Соколовой, у них родились две дочери.
В 1946 году Алексей Бобра поступил в Ленинградский институт инженеров железнодорожного транспорта на факультет мостов и тоннелей, окончил его в 1950 году. Его дипломной работой было проектирование наклонного хода. Эта работа оказалась настолько удачной, что её положили в основу строительства наклонного хода станции «Владимирская». После окончания института работал в Ленметрострое, курировал строительство станций «Автово» и «площадь Ленина». За заслуги в строительстве метрополитена он был награждён орденом «Знак Почёта». В начале 1963 года он был направлен в командировку в Афганистан для помощи в организации строительства (он был начальником тоннельного участка) оросительного канала в Джелалабадской долине у подножия гор Сафид-Кух. За самоотверженный труд на строительстве канала А. Бобра в 1965 году был награждён афганским орденом «Стур», который ему вручил король Афганистана Мухаммед Захир-Шах. После возвращения в Ленинград Алексей Бобра некоторое время работал управляющим на Кировском заводе, затем начальником склада в Обухово.
Алексей Бобра скоропостижно скончался 19 ноября 1977 года от острой сердечной недостаточности. Похоронили его на Ново-Волковском кладбище в Ленинграде.