Родился 20 мая (2 июня) 1913 года в деревне Ситское ныне Юхновского района Калужской области.
C 1923 года жил в Москве. В 1927 году окончил школу-семилетку, в 1929 году — 1-й Московский институт трудового воспитания. В 1929—1932 годах работал в организации «Стройэлектро»: электромонтажником, бригадиром, старшим электриком. Из «Стройэлектро» был направлен на учебу в Московский энергетический институт. Окончил МЭИ в 1938 году.
Богомолов А. Ф. участник Великой Отечественной войны, командир взвода, затем инженер по радиолокации зенитно-артиллерийских частей Ленинградского Фронта. А. Ф. Богомолов был награжден орденом Красного Знамени, медалями «За оборону Ленинграда», «За победу над Германией».
В конце 1945 года Алексей Федорович был отозван из армии в МЭИ и приступил к работе на кафедре Радиотехнических приборов. Преподавал на Высших инженерных курсах МВТУ в 1947—1954 годах, на радиотехническом факультете МЭИ. В 1949 году он защитил кандидатскую диссертацию. В 1955 году А. Ф. Богомолов был избран заведующим кафедрой Радиотехнических приборов.
Богомолов был главным конструктором (директором) ОКБ МЭИ с 1954 по 1989 годы. Основные направления работы ОКБ МЭИ в это время были: радиотелеметрия, траекторные измерения, фазовая пеленгация, антенные системы. А. Ф. Богомолов и возглавлявшийся им коллектив сотрудников ОКБ является создателем средств радиотелеметрии и траекторных измерений, обеспечивших разработку и испытания первых баллистических ракет, межконтинентальных ракет, запуск первых искусственных спутников Земли, проведения научных экспериментов в космосе.
Принимал участие в испытании Р-16, случайно выжил в неделинской катастрофе 1960 года.
Специалист в области разработок радиоастрономических и радиофизических комплексов и проведения важнейших исследований в космосе. Главный конструктор радиотехнических систем, учёный радиотехник. Член-корреспондент по Отделению общей и прикладной физики (радиофизика и радиотехника) с 1 июля 1966 года. Академик по Отделению общей физики и астрономии (астрономия) с 26 декабря 1984 года. Основные работы по радиотехнике и радиофизике, в том числе разработка больших радиотелескопов для приёма телепередач через ИСЗ «Молния» в системе «Орбита».
Жил в Москве. Вышел на пенсию в 2000 году. Умер 12 апреля 2009 года. Похоронен на Троекуровском кладбище в Москве.
Специалист в области разработок радиоастрономических и радиофизических комплексов и проведения важнейших исследований в космосе. Главный конструктор радиотехнических систем, учёный радиотехник. Член-корреспондент АН СССР по Отделению общей и прикладной физики (радиофизика и радиотехника) с 1 июля 1966 года. Академик АН СССР по Отделению общей физики и астрономии (астрономия) с 26 декабря 1984 года (c 1991 года — РАН). Основные работы по радиотехнике и радиофизике, в том числе разработка больших радиотелескопов для приёма телепередач через ИСЗ «Молния» в системе «Орбита».
А. Ф. Богомолов пользовался большим уважением и доверием со стороны С. П. Королева. Академик А. Ф. Богомолов входил в состав Совета Главных конструкторов, возглавлявшегося С. П. Королевым. Личная дружба связывала его со многими выдающимися деятелями ракетно-космической техники и радиоэлектроники: А. Г. Иосифьяном, М. И. Борисенко, Б. Е. Чертоком и многими другими. В 1960—1965 годах под руководством А. Ф. Богомолова были сооружены антенны с диаметром зеркала 32 метра, а затем с диаметром 64 м (Медвежьи озера, под Москвой) для обеспечения связи с межпланетными исследовательскими аппаратами, запускаемыми к планетам Солнечной системы.
Из воспоминаний руководителя подготовки советских космонавтов Каманина Н. П. (4.07.1963 г.) «Был на торжестве в Московском энергетическом институте, где отмечали 50-летие Богомолова Алексея Федоровича. На юбилее были Столетов, Елютин, Королев, Янгель, Колесников, Титов, Одинцов и более 200 работников института и ОКБ. Богомолов учился и работает в институте, умело сочетая большую конструкторскую работу с профессорской деятельностью. Алексей Федорович сам молод душой и опирается на молодой студенческий коллектив. Вся радиоэлектроника, работающая сейчас в космосе и на ракетах, создана коллективом, возглавляемым А. Ф. Богомоловым. Мы верим и надеемся, что Богомолов и возглавляемый им коллектив сделают еще многое в деле освоения космоса». Богомолов А. Ф. — отец академика-математика Фёдора Алексеевича Богомолова и известного российского писателя Андрея Алексеевича Молчанова.