По окончании географического факультета ЛГУ в 1939 году работал в Арктическом и Антарктическом научно-исследовательском институте, директором которого был с 1960 по 1981 год. В этот период в Арктике проводились активные исследования, а с середины 1970-х годов начался новый этап активной практической работы, связанной с созданием новых ледоколов типа «Арктика». Ввод в строй этих судов позволил выполнять круглогодичную навигацию по Северному морскому пути. Одним из первых рейсов «Арктики» стал поход на Северный полюс в 1977 году, на судне отправилось три группы ААНИИ во главе с полярником И. П. Романовым. Интерес к этому направлению был достаточно велик, и А. Ф. Трешников совместно с И. П. Романовым проедставили доклад об итогах гидрометеорологического обеспечения на заседании коллегии в Главном управлении Гидрометеослужбы СССР.
Доктор географических наук (1963), профессор (1967).
Участник 22 экспедиций в Арктику и Антарктику. Начальник дрейфующей станции «Северный полюс-3» (1954—1955), 2-й и 13-й советских антарктических экспедиций АН СССР (1956—1958 и 1967—1968).
С 1964 года — вице-президент, с 1977 по 1991 год — президент Географического общества СССР.
С 1981 по 1991 год заведующий кафедрой океанологии ЛГУ.
С 1982 года директор Института озероведения АН СССР.
Участник создания Атласа Антарктики (1966—1969), главный редактор Атласа Арктики, Географического энциклопедического словаря (1988—1989).
Поддержал новое научное направление — теорию самоорганизации и саморегуляции природных систем D-SELF. Первые научные статьи по этому научному направлению А. Ф. Трёшников представлял в «Доклады Академии наук» (ДАН). Некоторые из эти работ были переведены на английский язык и опубликованы за рубежом. Монография А. Г. Иванова-Ростовцева и Л. Г. Колотило по этой тематике была посвящена памяти А. Ф. Трёшникова.
Умер 18 ноября 1991 года в Санкт-Петербурге и похоронен на кладбище в Комарове.
Именем Трёшникова названо научно-экспедиционное судно для арктической экспедиции проекта 22280 «Академик Трёшников» (судостроительное предприятие «Адмиралтейские верфи»). Судно спущено на воду 29 марта 2011 года.