Алексей Ганзен родился 2 февраля 1876 в Одессе в семье действительного статского советника Вильгельма Львовича Ганзена и дочери выдающегося художника И. К. Айвазовского Марии Ивановны Айвазовской. Закончил Императорский Новороссийский университет в Одессе (юридический факультет, диплом II степени). С 1900 до 1917 года состоял на гражданской службе в Ведомстве учреждений Императрицы Марии, а 1915 года состоял на службе по Морскому министерству как художник Главного морского штаба России.
Учился у К. Зальцмана, П. Мейергейма в Германии, затем в Париже у Т. Робер-Флёри и Ж. Лефевра. Закончил Берлинскую и Дрезденскую Академии изящных искусств. Член Международной Ассоциации акварелистов, Ассоциации гравюры, Русского общества художников в Париже, общества «Товарищество художников».
Приобретал картины русских и европейских художников. Открыл свою галерею в Одессе (1910—1917).
В 1920 году эмигрировал из России и до своей кончины жил на вилле в Дубровнике, где продолжал заниматься творческой деятельностью. В 1929 году в Париже в галерее Жоржа Пти прошла его персональная выставка.
Умер 19 октября 1937 в Дубровнике. Похоронен на местном православном кладбище.