Воспитанник детско-юношеской школы города Павлограда ДЮСШ «Самара», тренировался под руководством своего отца Антонова Геннадия Ильича. Позже стал воспитанником днепропетровского спортинтерната и клуба «Днепр». Профессиональную карьеру начал в 2002 году в клубе «Днепр-2».
Летом 2004 года перешёл в «Кубань», в составе которой затем выступал до 2007 года, проведя за это время 5 матчей и забив 1 гол за основной состав в чемпионате и 3 матча в розыгрышах Кубка России. Помимо этого, в 2004 году сыграл 9 матчей и забил 2 мяча за резервный состав «Кубани» в турнире дублёров РФПЛ.
В марте 2007 года был отдан в аренду до конца сезона с правом выкупа харьковскому «Металлисту», который по окончании сезона, летом 2007 года, воспользовался правом выкупа игрока и заключил с Алексеем полноценный контракт на 3 года. В составе «Металлиста» стал бронзовым призёром чемпионата Украины сезона 2006/07. В начале 2008 года был отдан в аренду луганской «Заре». В июле 2008 года получил серьёзную травму — разрыв связки, из-за чего выбыл из строя на длительное время.
В 2011 году, летом, перешёл в днепропетровский «Днепр», в составе которого в 2 стартовых матчах забил 4 гола. После этого уже не забивал. Во время зимнего трансферного окна 2011—2012 был отдан в аренду в «Кривбасс».
Играл в составе юношеской сборной Украины (до 17 лет), за которую провёл 17 матчей и забил 9 мячей. С 2007 года выступал и за молодёжную сборную Украины (до 21 года), сыграл 9 матчей, в которых забил 4 гола.
Впервые в национальную сборную Украины Антонов был вызван Олегом Блохиным на товарищеский матч против Швеции, который состоялся 10 августа 2011 года в Харькове. Антонов вышел в этом матче на замену во втором тайме.
Бронзовый призёр чемпионата Украины: (1)
2-е место в Первом дивизионе России (выход в Высший дивизион): (1)