Родился 7 мая (20 мая по новому стилю) мая 1902 года в станице Красночерская Области Войска Донского (по другим данным — в станице Терновской), ныне Цимлянского района Ростовской области в крестьянской семье. Русский.
Образование начальное. Работал конторщиком на кожевенном заводе в станице Нижнечирская (ныне посёлок городского типа Нижний Чир Волгоградской области).
В Красной Армии с 1921 года. Участник боёв с бандами Антонова на Тамбовщине и с басмачами в Таджикистане. В 1926 году окончил Ленинградское артиллерийское училище. Член ВКП(б)/КПСС с 1940 года.
Участник Великой Отечественной войны с июня 1941 года. Войну встретил в Белоруссии, участвовал в Курской битве. Командир артиллерийского полка майор Алексей Любимов 27 сентября 1943 года, переправив материальную часть полка на подручных средствах через реку Днепр, в бою с тяжелыми танками, бронемашинами и бронетранспортёрами противника огнём обеспечил захват плацдарма на правом берегу Днепра в районе села Днепровокаменка Верхнеднепровского района Днепропетровской области Украины.
С 1946 года подполковник Любимов А. И. — в отставке. Жил в городе Термез Сурхандарьинской области Узбекистана, а затем в городе Краснодаре.
Умер 5 апреля 1986 года. Похоронен в Краснодаре на Славянском кладбище.