Образование: Курское музыкальное училище (1957), Львовская государственная консерватория (до 1961), Новосибирская государственная консерватория (окончил в 1976). В 1962 году, еще будучи студентом, пошел работать простым педагогом в районную детскую музыкальную школу. Его ученики более 70 раз побеждали на конкурсах виолончелистов самых разных уровней, вплоть до международных (Василий Воропаев, Кремона, 1997). В 1960–80-х годах принимал активное участие в работе любительского оркестра при Дворце культуры «Академия» в Новосибирском Академгородке. В 1970–80-х годах восстановил из рукописей XVIII века и привел к современному виду около 6000 страниц партитур произведений выдающегося чешского композитора Йосефа Мысливечека.
В 1991 году открыл школу для работы с детьми-инвалидами. Школа существовала на грантах международных фондов: Фонда Дж. Сороса, Фонда А.И. Солженицына, CAF и других. В 1997 году Алексей Бороздин в числе первых получил премию Фонда Сороса «Подвижник России». В 1998 году эта школа, уже известная по всей России, приобрела статус муниципального учреждения. Опыт школы описан в книге «Этюды абилитационной педагогики (из опыта «Школы Бороздина»)».
В 1993 году А.И. Бороздину присвоено почётное звание «Заслуженный работник культуры РФ». Также Алексей Иванович Бороздин является членом Союза журналистов России.