Алексей Иванович Кикин получил медицинское образование в московском отделении медико-хирургической академии, куда поступил в 1825. Ещё студентом обратил на себя внимание прилежанием и любовью к зоотомии, почему и был назначен исполняющим должность прозектора. В 1829 лекарь, неоднократно получал премии за изготовленные препараты. В 1830—1831 гг. командирован в Саратов для борьбы с эпидемией холеры. В 1834 доктор медицины за диссертацию «О цинге» (лат. De scorbuto).
Получив звание профессора в 1846 году, Кикин издал первую на русском языке «Краткую зоотомию, или Руководство к познанию строения домашних животных». Кроме ветеринарной медицины, преподавал студентам в различное время государственное врачебноведение, учение об эпизоотиях, гигиену и диететику.
В 1835 году женился на мещанке Александре Михайловне Кротковой. В 1842 родился сын — Василий.