Кудлай начинал играть в футбол в клубе Первой лиги Украины «Полиграфтехника» из Александрии. Однако, получив серьезную травму пятки, завершил футбольную карьеру. Но спустя пару лет Алексей принял участие в первенстве Харькова по мини-футболу, после чего ему было предложено попробовать свои силы в украинском чемпионате. В течение следующих двух лет он играл в клубах «Харьков», «Виннер-Форд Университет» и «Запорожкокс-Университет», после чего перебрался в Россию, став игроком екатеринбургской «Альфы».
В составе «Альфы» Кудлай стал обладателем Кубка России, а также первого неофициального европейского Кубка обладателей кубков. После расформирования команды Алексей перебрался в другой екатеринбургский клуб — «ВИЗ-Синару». Проведя в его составе два сезона, украинец перешёл в сильнейшую команду России тех лет — московское «Динамо». В составе «динамовцев» Кудлай стал трёхкратным чемпионом России, выиграл ещё два национальных Кубка, трижды доходил до финала Кубка УЕФА по мини-футболу, а в сезоне 2006/07 выиграл его. В финале розыгрыша 2004/05 Алексей отметился забитым голом в ворота бельгийского «Аксьон 21».
Покинув «Динамо», Кудлай играл за щёлковский «Спартак-Щёлково», московское «Динамо-2», а с лета 2010 года он является игроком петербургского «Политеха».
В составе сборной Украины по мини-футболу Кудлай дважды становился серебряным призёром Чемпионата Европы по мини-футболу.