Получил среднее образование во второй гимназии Москвы.
В 1879 году окончил курс на физико-математическом факультете Московского университета по естественному отделению и принят лаборантом при лаборатории органической химии этого же университета.
В 1883 году окончил курс на медицинском факультете Московского университета, где с 1884 по 1887 год состоял ординатором пропедевтической клиники.
В 1895 году назначен профессором Варшавского университета по кафедре госпитальной терапевтической клиники.
Попечитель Одесского (с 1911) и Рижского (с 1915) учебных округов.
С 1908 года до 1915 года А. И. Щербаков был профессором бальнеологии Новороссийского университета.
В первой половине ноября 1920 года он прибыл в Королевство сербов, хорватов и словенцев, во Врнячку Баню; в 1921 году был назначен советником-бальнеологом в Министерстве Народного Здравоохранения в Белграде, а в 1924 году был избран профессором бальнеологии на медицинском факультете Белградского университета. До второй мировой войны занимался научными трудами и практикой; был представителем Югославии на международных конгрессах по бальнеологии и климатологии в Лионе (в 1927 году) и Будапеште (в 1929 году).
Осенью 1928 года А. И. Щербаков занимался изучениями о влиянии врнячкой теплой воды в лечении разных болезней; в 1929 году он исследовал мощный минеральный источник, который даёт 330 литров воды в минуту, и находится в непосредственной близости к источнику «Снежник» из которого сегодня берут воду под брэндом Water Vrnjci.
Библиография
- О действии нормального хлористого бутирила на нормальный цинкпропил // «Журнал Русского химического общества», 1881, том XIII;
- О получении и свойствах цинкпропила // «Журнал Русского химического общества», 1881, том XIII;
- Сакские грязи в Крыму // «Медицинское обозрение», 1884;
- Об употреблении антифебрина и нефти при лечении чахотки // «Труды II съезда русских врачей в память Н. И. Пирогова», 1887;
- «О круглой язве желудка // «Труды Московсковского физико-медицинского общества» и «Дневник III съезда русских врачей в память Н. И. Пирогова», 1889;
- К вопросу о происхождении свободной соляной кислоты в желудочном соке // «Труды Физико-медицинского общества в Москве», 1889;
- Нарушение секреции желудка как причина болезней этого органа // «Дневник IV съезда русских врачей в память Н. И. Пирогова», 1891;
- Об условиях развития круглой язвы желудка. Ulcus ventriculi chronicum rotundum; критическое и экспериментальное исследование, М., 1891;
- О задачах клинического преподавания медицинской науки // «Варшавские университетские известия», 1898;
- Les stations de Boues min?rales de la Russie d’Europe // «XII Congres international de M?decine Moscou», 1897;
- Грязелечебные местности Европейской России // «Библиотека врача», 1898;
- По поводу некоторых методов исследования обмена и крови // «Записки Русского бальнеологического общества в Пятигорске», 1900;
- Заметки о Лысогорских горько-соленых озерах // «Записки Русского бальнеологического общества в Пятигорске», 1902.
- «Лечебные воды и климатические зоны Королевства СХС» Белград, 1922