Алексей Воевода до перехода в бобслей стал трёхкратным чемпионом мира по армрестлингу.
В ноябре 2010 года Алексею Воеводе присвоено звание "Почетного гражданина г. Сочи".
Профессиональный бобслеист с 2002 года. На Олимпийских играх 2006 года в Турине Воевода вместе с Филиппом Егоровым, Алексеем Селиверстовым и Александром Зубковым в составе экипажа-четвёрки завоевал серебряную медаль. На Олимпийских играх 2010 года в Ванкувере в составе экипажа двойки с Зубковым завоевал бронзовую медаль. После Олимпиады Алексей Воевода объявил о завершении карьеры бобслеиста, но заявил, что в спорте он остается.