В детстве Алексей увлекался футболом, хотел связать с ним свою жизнь и занимался в пензенском «Локомотиве», но ему указали на непропорционально большую голову, из-за чего его пришлось отчислить из команды. С 8 лет занимался в театральной студии, где оказался на первых ролях. В 1993 году Алексей окончил среднюю школу № 70 города Пензы, после чего отправился в Москву, где ему не удалось поступить в актёрские вузы. В итоге, начинающий актёр прошёл по специальности организация массовых мероприятий и режиссёр любительского театра в Училище Культуры и искусств своего родного города.
Во время учёбы работал педагогом-организатором во Дворце детского и юношеского творчества, взял Гран-при на российском фестивале театральных коллективов с молодёжной труппой «Бригада-А», где выступил режиссёром. Являлся организатором различных концертов в области и на выезде.
В 1997 году Куличков отправился в Саратов, где поступил на театральный факультет Саратовской консерватории (курс А. Г. Галко).
В 2001—2002 годах, по окончании вуза, играл в Русском драматическом театре Башкирии, что в Уфе. Там ему удалось сыграть за один сезон три большие роли и завоевать зрительские симпатии. Организовывал и ставил капустники и творческие встречи.
В 2002 году уехал в Москву, где ему удалось быстро закрепиться на канале ТНТ. С сентября 2002 по июль 2003 года был редактором ток-шоу «Окна», в том же году вёл реалити-шоу «Дом» вместе с Николаем Басковым и Светланой Хоркиной. В 2004 году возглавлял коллектив Надежды Бабкиной «Русская песня».
Популярность пришла к Алексею после шоу-игры «Такси», где «голосующих» пассажиров довозят до нужного им места бесплатно и дают им возможность заработать, отвечая на различные вопросы.
С 20 августа 2010 г. Алексей ведет программу «Лаборатория чувств» на канале МУЗ-ТВ.
С 19-го марта 2012 года на телевизионном канале «Перец» состоялась премьера телевизионного шоу «Обмен бытовой техники», которую ведёт Алексей.
Жена — Лацына, сыновья — Яромир и Гордей