Родился в 1954 году в Приморском крае в семье военного врача, впоследствии профессора М. И. Рейдермана и врача-хирурга Л. С. Парщиковой. Отец будущего поэта был отозван из аспирантуры и направлен на Дальний Восток (в дислоцированную в Китае воинскую часть) за несколько лет до рождения сына в связи с Делом врачей. После демобилизации отца семья вернулась в Киев, а в 1961 году поселилась в только что получившем новое название Донецке, где будущий поэт закончил среднюю школу. Учился в Киевской сельскохозяйственной академии и после двух лет работы по специальности — в Литературном институте им. Горького в Москве (окончил в 1981 году).
В 1991 году переехал в США (Сан-Франциско), где в 1993 году получил степень магистра (Master of Arts) с тезисом «Поэзия Дмитрия Александровича Пригова в русском концептуализме» (Dmitry Alexandrovich Prigov’s poetry in Russian conceptualism) на отделении славистики Стэнфордского университета. В 1995 году поселился с родителями в Кёльне. Сотрудничал с амстердамским культурным центром «ARTTRA» (с Л. В. Ходынской).
Скончался А.М. Парщиков 3 апреля 2009 года, похоронен в Кёльне (Германия), в самом центре города, на кладбище Мелатен.
Алексей Парщиков принадлежал к кругу неофициальных поэтов 1980-х годов, чьё творчество в дальнейшем, по предложению М. Эпштейна, стало называться метареализмом; среди авторов, связанных с Парщиковым общими ранними выступлениями, творческим общением и последующим совместным анализом в критике, — поэты Александр Ерёменко, Иван Жданов, Аркадий Драгомощенко, Рафаэль Левчин, Юрий Проскуряков, Владимир Аристов, Сергей Соловьёв, Илья Кутик. Первая публикация поэмы «Новогодние строчки» в журнале «Литературная учёба» (№ 1 1984) с послесловием Константина Кедрова «Метаметафора Алексея Парщикова». Первая книга стихотворений появилась в 1988 году, в переводе на датский язык. В 1989 году в московском издательстве «Московский рабочий» вышла книга «Фигуры интуиции», с предисловием Кирилла Ковальджи. В 1995 г. вышла книга «Медный купорос» в издательстве «Avec Press» (в переводе на английский язык).
В издательстве «Иц-Гарант» (теперешнее ОГИ) в 1996 году вышла книга «Выбранное». В 1998 году издательство «Ad Marginem» опубликовало книгу «Переписка. Вячеслав Курицын — Алексей Парщиков. Февраль 1996 — февраль 1997». Книга «Соприкосновение пауз» (М., Манеж, 2004) представляла совместный проект с художником Игорем Ганиковским. В издательстве «Наука» вышла коллекция стихотворений и прозаических заметок «Ангары», серия «Русский Гулливер», М., 2006. В том же году в издательстве «НЛО» появилась книга эссе, переводов и ретроспекций «Рай медленного огня». Последняя прижизненная публикация — книга стихотворений «Землетрясение в бухте Цэ» (совместно с художником Евгением Дыбским), выпущенная Поэтическим клубом Stella Art Foundation в издательстве «Икар» в конце 2008 года.
Парщиков выступал на поэтических фестивалях России, Европы и Северной Америки. Лауреат премии Андрея Белого (1987) и премии Московского Биеннале поэтов в номинации «Литературная легенда» (2005). Первые переводы стихотворений Парщикова относятся, вероятно, к 1983 году (идиш, выполнены Львом Беринским). С тех пор его стихи выходили на различных языках, в том числе отдельными изданиями (на датском и английском языках) и в иностранной периодике на идишe, китайском, немецком, нидерландском, сербском, узбекском (выполнены Мухаммадом Салихом), финском, французском, японском и других языках. Сам Парщиков осуществил переводы с узбекского (Мухаммада Салиха), идиша (Льва Беринского), английского и немецкого языков.
Первой женой А. М. Парщикова (с 1972 года) была директор Московского дома фотографии Ольга Свиблова (сын — Тимофей Парщиков, род. 1983 — фотограф, документалист, поэт); второй женой — швейцарская поэтесса Мартина Хюгли (Martina H?gli, род. 1969); третьей — журналистка Екатерина Дробязко (сын Матвей, род. 2006).