Алексей Астахов родился 19 декабря 1903 (1 января 1904) года в селе Старобешево Старобешевского р-на Донецкой области, в семье кузнеца. С 1911 по 1914 год учился в церковно-приходской школе в Старобешево, с 1914 по 1915 год учился в земской школе. В 1915 году поступил в высшее Начальное училище, но вскоре умер отец, через три года, в 1919, умерла мать, и Алексею пришлось оставить учёбу.
С 1919 года батрачил у крестьян в родном селе. С 1921 по 1928 год работал в учреждениях связи станицы Иловайская и Таганрога. Член КПСС с 1929 года.
С 1929 по 1933 год учился в Ленинградском металлургическом институте по специальности «Прокатка». Окончив институт, вернулся в Таганрог на металлургический завод имени Андреева. Работал инженером по оборудованию УКСа, начальником смены ТСЦ № 1, заместителем начальника ТСЦ № 1, начальником ТСЦ № 2. С 1938 по 1939 год — заместитель директора завода.
В январе 1939 года А. М. Астахов был назначен директором Никопольского южно-трубного металлургического завода (Украина). За умелое руководство производством в 1939 году А. М. Астахов был награждён орденом Трудового Красного Знамени, который ему в Москве вручил лично М. И. Калинин.
В августе 1941 года в условиях военного времени руководил эвакуацией Никопольского южно-трубного металлургического завода в Первоуральск (Первоуральский новотрубный завод).
С 1941 по 1943 год Алексей Астахов возглавлял трубный завод в Кемерово, работал заместителем директора Выксунского металлургического завода, директором Московского метизного завода.
После освобождения Таганрога от немецко-фашистских войск, в сентябре 1943 года Алексей Астахов был назначен директором Таганрогского металлургического завода и проработал в этой должности до января 1958 года.
Под его руководством в декабре 1943 года план выпуска валовой продукции был значительно перевыполнен, по-стахановски быстро вводились в строй восстановленные цеха. Сталин в приветственной телеграмме, направленной руководителям завода в мае 1944 года, поблагодарил таганрогских металлургов за самоотверженный труд по восстановлению завода. В послевоенное время запускались в эксплуатацию новые производственные участки: тонколистовой стан, котлы-утилизаторы в мартеновском цехе № 2, центральная компрессорная, впервые в СССР был успешно освоен выпуск легированных обсадных труб для сверхглубокого бурения.
Большое внимание Алексей Астахов уделял социальной сфере: при заводе было создано ремесленное училище № 5, построен заводской клуб, детский дом для детей металлургов, погибших во время войны, заводской спортивный павильон и больница на территории завода, широко велось жилищное строительство.
Свой послужной список Алексей Астахов продолжил начальником управления металлургической и химической промышленности Ростовского Совнархоза с 1958 по 1962 год, начальником управления чёрной и цветной металлургии Северо-Кавказского Совнархоза с 1962 по 1965 год. Знаком признания его высокого профессионализма и большого опыта стало назначение на работу в Советском торгпредстве в Венгрии. Трудовой путь А. М. Астахов продолжил, работая заместителем директора Института повышения квалификации руководящих работников и специалистов Минтракторсельхозмаша (Ростов-на-Дону).
С 1980 года — персональный пенсионер Союзного значения.
Умер 13 марта 1984 года в Ростове-на-Дону. Похоронен в Таганроге на «Аллее славы» Николаевского кладбища.