Родился 27 сентября 1851 г. в русской многодетной семье протоиерея Сретенской церкви Матвея Автономовича Позднеева в городе Орле.
Получил образование в Орловской духовной семинарии и в Санкт-Петербургском университете на факультете восточных языков (с сентября 1867 г.).
По окончании университета (1876) принял участие в снаряженной Русским географическим обществом экспедиции в Монголию и Китай.
В 1881 г., продолжая карьеру в СПбУ, защитил диссертацию «Образцы народной литературы монгольских племён» на степень магистра монгольской словесности и был утверждён штатным доцентом по кафедре монгольской словесности.
С 1881 г. редактировал издания Великобританского иностранного библейского общества (Лондон) на монгольском, китайском и маньчжурском языках.
В 1883 г. (1881 г. (?)) по представлении диссертации «Монгольская летопись Эрдэнийн-эрихэ, с пояснениями, заключающими в себе материалы для истории Халхи с 1636 по 1736 гг.» получил степень доктора монгольской словесности.
С 1884 г. состоял профессором монгольской словесности в СПбУ; с 1889 г. преподавал и маньчжурский язык. Первым в России открыл курс чтений по истории литературы монгольских наречий и ввёл в преподавание чтение официальных бумаг, написанных по-монгольски.
В 1887 г. по поручению Министра государственных имуществ составил проект об устройстве училищной части у калмыков Астраханской губернии.
В 1888 г. получил от РГО большую золотую медаль за труд «Очерки быта буддийских монастырей и буддийского духовенства в Монголии». В 1892 г. был командирован Министерством иностранных дел в Монголию «для исследования её положения и административного строя, а также для изучения наших торговых отношений к Китаю». В этой монгольской командировке (как и в первой, 1876 г.) Позднеевым были собраны для библиотеки СПбУ большие коллекции рукописных и печатных китайских, монгольских и маньчжурских сочинений, а также коллекция бурханов (буддийских скульптур) и других принадлежностей религиозного культа. Результаты поездки были изложены в книге «Монголия и монголы», изданной РГО в 1896—1898 гг.
1899—1903 гг. — занимал пост директора в новообразованном Восточном институте.
1903 г. (ноябрь) — назначен членом Совета при Министерстве народного просвещения.
В 1910 г. назначен директором Практической восточной академии в Петербурге.
В 1913 г. за содействие делу народного образования монголов получил звание Дзюнь-вана (князя второй степени) от правительства Монголии.
В 1914 г. стал представителем МНП в Комитете для изучения Средней и Восточной Азии.
С 1918 г., уволившись из МНП, до конца жизни работал в Астраханской и Ставропольской губерниях и на территории Области Войска Донского, изучая культуру калмыков.
А. М. Позднеев является автором 122 научных трудов (из них 17 монографий), среди которых можно отметить следующие.