Алексей Матиясевич родился 17 сентября 1905 года в семье царского офицера Михаила Степановича Матиясевича. Михаил Степанович отличился в войнах и дослужился до полковника, а все пять его сыновей, включая Алексея, стали впоследствии кадровыми офицерами.
Детство Алексея прошло в тяжёлые послереволюционные годы. Уже в 16 лет, в 1921 году, приписав себе полтора года возраста он без ведома родителей записался на флот. Служил матросом на буксирном пароходе «Амстердам» при переходе группы речных судов Северным морским путём из Мурманска в Красноярск, в 1922 году поступил на судоводительское отделение Киевского водного техникума, в 1927 году окончил его и поступил в Ленинградский морской техникум водных путей сообщения. После окончания учёбы в 1931 году и до 1934 года ходил в качестве штурмана, помощника капитана, старпома, капитана на кораблях Дальневосточного пароходства. С 1934 по 1940 год — Балтийского пароходства.
В 1936 году в качестве старшего помощника капитана ледокольного парохода «Анадырь» участвовал в особой экспедиции под руководством О. Ю. Шмидта по проведению эсминцев «Сталин» и «Войков» из Кронштадта во Владивосток Северным морским путём. За успешное выполнение задания награждён орденом «Знак Почёта» (указ от 25 февраля 1937 года).
В 1937 году в должности старпома ледокольного парохода «Моссовет» Алексей Матиясевич участвовал в переходе из Мурманска в Петропавловск-Камчатский по Северному морскому пути за одну навигацию. На обратном пути шедший рекордными темпами пароход, взявший на Камчатке большой запас угля, по приказу руководства задержался во льдах для помощи другим судам, несмотря на благоприятные условия для завершения своего похода. В итоге «Моссовет» остался во льдах на зимовку вместе с ними. Учтя это, командование посчитало переход выполненным. Таким образом были получены доказательства, что Северный морской путь проходим в обоих направлениях в течение одной навигации.
В мае-июле 1940 года участвовал в экспедиции по переводу закупленных в Голландии судов из Роттердама в Ленинград, во время этой командировки Голландия была захвачена гитлеровцами. В связи с оформлением документов у оккупационного правительства и установкой новой морской рации отправка судов сильно задержалась. Перед выходом в море немецкий офицер сообщил советским морякам радиочастоты для связи «в случае неприятностей». В пути караван, шедший с ясными обозначениями нейтральной страны был обстрелян самолётом с британскими опознавательными знаками, но предложенными частотами советские моряки не воспользовались. Неизвестно, был ли это действительно британский самолёт или имела место немецкая провокация.
В ноябре 1940 года тридцатипятилетний моряк с двадцатилетним стажем Алексей Матиясевич успешно прошёл медкомиссию и был направлен на Высшие специальные курсы командного состава Краснознамённого учебного отряда подводного плавания (КУОПП) имени С. М. Кирова, которые успешно окончил в 1941 году уже после начала войны.
Сразу после окончания курсов командиров-подводников, А. М. Матиясевич был назначен на должность старшего помощника подводного минного заградителя «Лембит» под командованием В. А. Полещука. Лодка ранее входила в ВМС Эстонии и была построена в Великобритании, поэтому даже опытным морякам приходилось заново изучать механизмы корабля. Матиясевич под руководством более опытных подводников в ходе каждодневных инспекций и самостоятельных занятий быстро освоил устройство и особенности лодки, став надёжным и грамотным специалистом. Вскоре после того, как В. А. Полещук был назначен командующим дивизиона, А. М. Матиясевич стал бессменным командиром «Лембита» до 1946 года.
За время войны «Лембит» под командованием А. М. Матиясевича совершил пять минных постановок, выставив 100 мин, провёл 8 торпедных атак (выпущено 13 торпед).
Зимой 1941 года А. М. Матиясевич в условиях блокадного Ленинграда организовал работы по ремонту «Лембита», ввиду отсутствия мин английского образца выдвинул инициативу о переделке минных шахт субмарины под советские мины. Опыт полярных походов и зимовок чрезвычайно помог Алексею Михайловичу в те месяцы: организованное в нарушение противопожарных норм камельковое отопление лодки тремя печками-буржуйками оказалось полностью безопасным и спасло оборудование корабля от замерзания и выхода из строя. Истории о тяготах северных зимовок и о суровой жизни в условиях крайнего севера, рассказываемые капитаном, поддерживали настроения в команде на высоком уровне. К кампании 1942 года экипаж Матиясевича подошёл с боевым настроением и в полной боевой готовности.
14 сентября 1942 года после успешной двойной торпедной атаки «Лембит» подвергся особенно ожесточённой атаке сил ПЛО, в результате которой произошёл мощный взрыв в аккумуляторной батарее командного отсека и начался пожар. Как правило в такой ситуации даётся команда на всплытие. Капитан мгновенно оценил обстановку, отдал распоряжения по тушению пожара и эвакуации раненных, успешно организовав борьбу за живучесть. Необнаруженная лодка легла на дно, последствия повреждений устранялись в течение суток. Корабль успешно вернулся на базу на одной аккумуляторной батарее, погибших не было.
За тот поход многие лембитовцы были награждены орденами и медалями. А. Матиясевич был награждён Орденом Ленина и представлен к званию Героя Советского Союза, но не получил эту награду. Корабль Матиясевича, награждённый в конце войны Орденом Красного Знамени, на флоте прозвали «бессмертной субмариной».
По послевоенным подсчётам командования Балтийского флота торпедами и минами лодки А. Матиясевича было потоплено 21 судно и 4 повреждены. По современным данным, составленным по спискам потерь воюющих сторон за годы войны под командованием Матиясевича «Лембит» потопил торпедами датский пароход (13 октября 1944), немецкий тральщик (15 октября 1944), предположительно потопил немецкую подлодку U-479 (12 декабря 1944 — в результате столкновения в подводном положении, было ли это действительно столкновение с подводной лодкой, и была ли это U-479 — достоверно неизвестно). Кроме того, шесть судов подорвалось на минах, выставленных «Лембитом».
До 1946 года А. М. Матиясевич оставался в должности командира «Лембита». Затем, до августа 1947 года командовал знаменитым «Ершом» Щ-303. С августа 1947 по апрель 1948 года командовал дивизионом строящихся и ремонтирующихся субмарин. С апреля 1948 года по февраль 1950 года командовал экспериментальной лодкой с двигателем единого хода «М-401». В октябре 1949 года на лодке произошёл пожар, в результате грамотных действий командира и экипажа возгорание было быстро ликвидировано.
С октября 1950 года по ноябрь 1955 года А. М. Матиясевич работал старшим преподавателем курсов высшего командного состава КУОПП им. С. Кирова, которые сам когда-то окончил. После работы преподавателем вышел в запас и подал в отставку.
На гражданской службе до 1981 года водил корабли, занимался гидрографическими изысканиями, работал старшим лоцманом в Ленинградском порту. Награждён знаком «Почётный работник Морского флота СССР». Являлся действительным членом Географического общества, членом Полярной комиссии.
В возрасте 76 лет ушёл на пенсию. В годы заслуженного отдыха участвовал в ветеранском движении, был избран почётным членом Президиума объединённого Совета ветеранов-подводников ВМФ. В 1994 году ветеранская организация подала ходатайство о присвоении А. М. Матиясевичу звания Героя России на основании архивного представления от 1942 года.
Алексей Матиясевич не дожил до награждения медалью Золотая Звезда, скончавшись 28 января 1995 года в Санкт-Петербурге на девяностом году жизни. Похоронен на Серафимовском кладбище, проводить в последний путь ветерана пришли родные, его ученики, сослуживцы, флотские ветераны.
Сослуживцы и знакомые вспоминали его как скромного, учтивого человека, не склонного к самовосхвалению, не терпевшего пустозвонства и преувеличения боевых успехов, как своих, так и чужих.
Контр-адмирал В. С. Козлов пишет, что звание Героя Матиясевичу не было присвоено своевременно из-за его критики «Атаки века», в которой «С-13» потопила немецкий транспорт «Вильгельм Густлофф». Сам Матиясевич писал: